Упр.574 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.
- Докажите, что: а) $$h=\frac{ab}{c}$$; б) $$\frac{a^2}{ac}=\frac{b^2}{bc}$$.
Обозначим диагонали ромба $$AC$$ и $$BD$$, точку их пересечения — $$O$$. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам, значит
$$AO=OC,\quad BO=OD,\quad BD\perp AC.$$
Тогда ромб разбивается на четыре равных прямоугольных треугольника: $$AOB$$, $$BOC$$, $$COD$$ и $$DOA$$.
Найдём площадь одного из них, например $$\triangle AOD$$:
$$S_{AOD}=\frac12\cdot AO\cdot OD=\frac12\cdot \frac{AC}{2}\cdot \frac{BD}{2}=\frac{AC\cdot BD}{8}.$$
Площадь ромба равна сумме площадей этих четырёх треугольников:
$$S_{ABCD}=4S_{AOD}=4\cdot \frac{AC\cdot BD}{8}=\frac{AC\cdot BD}{2}.$$
Итак, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Теперь вычислим площадь.
а) $$AC=14\text{ см},\quad BD=3{,}2\text{ дм}=32\text{ см}.$$
$$S=\frac{14\cdot 32}{2}=224\text{ см}^2.$$
б) $$AC=2\text{ дм},\quad BD=4{,}6\text{ дм}.$$
$$S=\frac{2\cdot 4{,}6}{2}=4{,}6\text{ дм}^2.$$
Ответ
$$S=\frac{d_1d_2}{2};\quad a)\ 224\text{ см}^2;\quad б)\ 4{,}6\text{ дм}^2.$$
