Упр.574 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм. Докажите, что: a) h = ab/c; б) a2/ac=b2/bc
Обозначим диагонали ромба $$AC$$ и $$BD$$, точку их пересечения — $$O$$.
По свойству диагоналей ромба они взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит
$$AO=OC,\quad BO=OD,\quad BD\perp AC.$$
Тогда треугольники $$AOD$$, $$DOC$$, $$AOB$$ и $$BOC$$ — прямоугольные. Площадь ромба равна сумме площадей этих четырёх треугольников:
$$ S_{ABCD}=S_{AOD}+S_{DOC}+S_{AOB}+S_{BOC}. $$
Каждый из них имеет катеты, равные половинам диагоналей, поэтому
$$ S_{AOD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{BD}{2}\cdot \frac{AC}{2}=\frac{BD\cdot AC}{8}. $$
Следовательно,
$$ S_{ABCD}=4\cdot \frac{BD\cdot AC}{8}=\frac{BD\cdot AC}{2}. $$
Итак, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Теперь вычислим площадь.
а) $$AC=14\text{ см},\quad BD=3{,}2\text{ дм}=32\text{ см}.$$ Тогда
$$ S=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{14\cdot 32}{2}=224\text{ см}^2. $$
б) $$AC=2\text{ дм},\quad BD=4{,}6\text{ дм}.$$ Тогда
$$ S=\frac{AC\cdot BD}{2}=\frac{2\cdot 4{,}6}{2}=4{,}6\text{ дм}^2. $$
Докажем ещё формулы.
а) Для треугольника с основанием $$c$$ и высотой $$h$$:
$$ S=\frac{1}{2}ab $$
и
$$ S=\frac{1}{2}ch. $$
Приравнивая площади, получаем
$$ \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch \;\Rightarrow\; ab=ch \;\Rightarrow\; h=\frac{ab}{c}. $$
б) Из формулы площади треугольника:
$$ a=\sqrt{a_c\cdot c}\Rightarrow a^2=a_c\cdot c, \qquad b=\sqrt{b_c\cdot c}\Rightarrow b^2=b_c\cdot c. $$
Тогда
$$ c=\frac{a^2}{a_c}=\frac{b^2}{b_c}, $$
что и требовалось доказать.
Ответ
$$S_{ABCD}=\frac{AC\cdot BD}{2};\quad a)~224\text{ см}^2;\quad б)~4{,}6\text{ дм}^2;\quad h=\frac{ab}{c};\quad \frac{a^2}{a_c}=\frac{b^2}{b_c}.$$
