Упр.573 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Начертите треугольник ABC. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади. Выразите ас и bс через а, b и с.

Обозначим точки пересечения проведённых через вершину $$A$$ прямых со стороной $$BC$$ через $$D$$ и $$E$$ так, чтобы $$BD=DE=EC$$. Тогда треугольники $$ABD$$, $$ADE$$ и $$AEC$$ имеют общую высоту, опущенную из $$A$$ на прямую $$BC$$, а их основания равны. Значит, их площади равны.

Пусть $$BC=c$$, $$AB=a$$, $$AC=b$$, а отрезки на стороне $$BC$$ равны $$BD=DE=EC=\frac{c}{3}$$. Тогда для треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC \cdot h=\frac{1}{2}ch.$$

Площади трёх получившихся треугольников равны, поэтому каждая из них составляет треть площади всего треугольника:

$$S_{ABD}=S_{ADE}=S_{AEC}=\frac{1}{3}S_{ABC}.$$

Так как у всех трёх треугольников одна и та же высота из точки $$A$$ к прямой $$BC$$, их площади пропорциональны основаниям. Следовательно, основания должны быть равны:

$$BD=DE=EC.$$

Значит, точки деления стороны $$BC$$ нужно взять так, чтобы она была разделена на три равные части, а через эти точки провести две прямые из вершины $$A$$.

Если требуется выразить отрезки на стороне $$BC$$ через $$a$$, $$b$$ и $$c$$, то для равных площадей получаем:

$$BD=DE=EC=\frac{c}{3}.$$

Ответ

Сторону $$BC$$ нужно разделить на три равные части и через точки деления провести две прямые из вершины $$A$$. Тогда площади трёх треугольников будут равны, а каждый из отрезков на стороне $$BC$$ равен $$\frac{c}{3}$$.