Упр.573 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Начертите треугольник ABC. Через вершину A проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.
2. Выразите $$ac$$ и $$bc$$ через $$a$$, $$b$$ и $$c$$.

Пусть в треугольнике $$ABC$$ сторона $$AB=c$$, а высота из вершины $$C$$ делит основание $$AB$$ на отрезки $$AH=b_c$$ и $$HB=a_c$$. Тогда из прямоугольных треугольников $$ACH$$ и $$BCH$$ получаем:

$$a^2=CH^2+HB^2=h^2+a_c^2,$$
$$b^2=CH^2+AH^2=h^2+b_c^2.$$

Вычтем из этих равенств одно и то же выражение $$h^2$$:

$$a^2-h^2=a_c^2,$$
$$b^2-h^2=b_c^2.$$

Так как $$AB=c$$, то для отрезков на основании имеем пропорциональность через основание:

$$a^2=a_c\cdot c,\qquad b^2=b_c\cdot c.$$

Отсюда

$$a_c=\frac{a^2}{c},\qquad b_c=\frac{b^2}{c}.$$

Ответ: $$a_c=\frac{a^2}{c},\ b_c=\frac{b^2}{c}.$$