Упр.569 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пусть $$a$$, $$b$$, $$c$$ — стороны треугольника, $$P$$ — периметр треугольника, $$r$$ — радиус вписанной окружности, $$S$$ — площадь треугольника. Найдите:
   
   а) $$r$$, если $$P=56$$, $$S=84$$;
   
   б) $$S$$, если $$P=144$$, $$r=3{,}5$$;
   
   в) $$a$$, если $$b=15$$, $$c=20$$, $$r=2$$, $$S=42$$.
2. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

Обозначим стороны треугольника через $$a$$, $$b$$, $$c$$, его периметр — через $$P$$, радиус вписанной окружности — через $$r$$, площадь — через $$S$$. Используем формулу площади треугольника:

$$S=\frac{P}{2}\cdot r.$$

а)

Дано: $$P=56$$, $$S=84$$.

Тогда

$$r=\frac{2S}{P}=\frac{2\cdot 84}{56}=\frac{84}{28}=3.$$

Ответ: $$3$$.

б)

Дано: $$P=144$$, $$r=3{,}5$$.

Найдём площадь:

$$S=\frac{1}{2}\cdot P\cdot r=\frac{1}{2}\cdot 144\cdot 3{,}5=72\cdot 3{,}5=252.$$

Ответ: $$252$$.

в)

Дано: $$b=15$$, $$c=20$$, $$r=2$$, $$S=42$$.

Сначала найдём периметр:

$$P=\frac{2S}{r}=\frac{2\cdot 42}{2}=42.$$

Тогда

$$a+b+c=42,$$

$$a+15+20=42,$$

$$a=42-35=7.$$

Ответ: $$7$$.