Упр.567 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) $$4\ \text{см}$$ и $$11\ \text{см}$$; б) $$1{,}2\ \text{дм}$$ и $$3\ \text{дм}$$.
2. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Рассмотрим четырёхугольник $$ABCD$$. Обозначим середины его сторон через $$M$$, $$N$$, $$K$$ и $$E$$ так, что $$M$$ — середина $$AB$$, $$N$$ — середина $$BC$$, $$K$$ — середина $$CD$$, $$E$$ — середина $$AD$$.

Проведём диагональ $$AC$$.

В треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, значит, $$MN$$ — средняя линия треугольника. Тогда

$$MN \parallel AC,\qquad MN=\frac{1}{2}AC.$$

В треугольнике $$ADC$$ точки $$E$$ и $$K$$ — середины сторон $$AD$$ и $$CD$$, значит, $$KE$$ — средняя линия треугольника. Тогда

$$KE \parallel AC,\qquad KE=\frac{1}{2}AC.$$

Следовательно, $$MN \parallel KE$$ и $$MN=KE$$.

Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон одновременно параллельна и равна, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит, $$MNKE$$ — параллелограмм.

Ответ: середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.