Упр.567 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 см и 11 см; б) 1,2 дм и 3 дм. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Подробный ответ

а) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 11=22\ \text{см}^2.$$

б) Аналогично:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 1{,}2\cdot 3=1{,}8\ \text{дм}^2.$$

Докажем, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Пусть в четырёхугольнике $$ABCD$$ точки $$M, N, K, E$$ — середины сторон $$AB, BC, CD, DA$$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины его сторон, то $$MN$$ — средняя линия треугольника, значит

$$MN \parallel AC,\qquad MN=\frac{1}{2}AC.$$

Рассмотрим треугольник $$ADC$$. Так как $$E$$ и $$K$$ — середины его сторон, то $$KE$$ — средняя линия треугольника, значит

$$KE \parallel AC,\qquad KE=\frac{1}{2}AC.$$

Следовательно, $$MN \parallel KE$$ и $$MN=KE$$.

Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит, $$MNKE$$ — параллелограмм.