Упр.562 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если большая его сторона равна 15,2 см, а один из его углов 45°. В треугольнике ABC сторона АВ равна а, а высота СН равна h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне АВ, а две другие — соответственно на сторонах АС и ВС.

Обозначим сторону квадрата через $$x$$. Тогда в квадрате $$MNFE$$ имеем

$$MN=NF=FE=ME=x.$$

Так как $$NF \parallel AB$$, а прямая $$CA$$ является секущей, то

$$\angle CNF=\angle CAB.$$

Кроме того, угол $$C$$ — общий для треугольников $$CNF$$ и $$CAB$$. Значит,

$$\triangle CNF \sim \triangle CAB.$$

Из подобия получаем отношение соответствующих сторон:

$$\frac{AB}{NF}=\frac{CH}{CQ}.$$

Так как $$AB=a$$, $$CH=h$$, $$NF=x$$, а $$CQ=h-x$$, то

$$\frac{a}{x}=\frac{h}{h-x}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$a(h-x)=hx$$

$$ah-ax=hx$$

$$ah=(a+h)x.$$

Отсюда

$$x=\frac{ah}{a+h}.$$

Следовательно, сторона квадрата равна

$$MN=\frac{ah}{a+h}.$$

Ответ

$$MN=\frac{ah}{a+h}$$