Упр.559 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Сторона параллелограмма равна 8,1 см, а диагональ, равная 14 см, образует с ней угол в 30°. Найдите площадь параллелограмма. На одной из сторон данного угла А отложены отрезки АВ = 5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки AD = 8 см и AF=10cм. Подобны ли треугольники ACD и AFB? Ответ обоснуйте.

1) Проведём из вершины C высоту CH к стороне AD. Тогда $$CH$$ — высота параллелограмма.

2) Диагональ $$AC=14$$ см образует с основанием $$AD$$ угол $$30^\circ$$, значит в прямоугольном треугольнике $$ACH$$

$$CH=AC\cdot \sin 30^\circ=14\cdot \frac{1}{2}=7\text{ см}.$$

3) Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

$$S_{ABCD}=AD\cdot CH=8{,}1\cdot 7=56{,}7\text{ см}^2.$$

Ответ

$$56{,}7\text{ см}^2$$

Ход решения

1) У треугольников $$ACD$$ и $$AFB$$ общий угол при вершине $$A$$.

2) Проверим отношения сторон, заключающих этот угол:

$$\frac{AB}{AD}=\frac{5}{8}, \qquad \frac{AF}{AC}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}.$$

3) Следовательно,

$$\frac{AB}{AD}=\frac{AF}{AC},$$

а угол между этими сторонами равен общему углу $$A$$. Значит, $$\triangle ACD \sim \triangle AFB$$ по двум сторонам и углу между ними.

Ответ

$$\triangle ACD \sim \triangle AFB$$.