Упр.558 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150°. Найдите площадь ромба. Прямые а и b пересечены параллельными прямыми АА1, ВВ1, СС1, причём точки А, В и С лежат на прямой а, а точки А1, B1 и С1 — на прямой b. Докажите, что AB/BC=A1B1/B1C1.

Подробный ответ

1) Найдём площадь ромба. Проведём высоту $$AH \perp CD$$, где $$AH=h$$.

Так как $$ABCD$$ — ромб, то $$AB=BC=CD=AD=6\text{ см}$$.

Смежные углы ромба в сумме дают $$180^\circ$$, значит

$$\angle B=180^\circ-150^\circ=30^\circ.$$

Противоположные углы ромба равны, поэтому

$$\angle D=\angle B=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$AHD$$ гипотенуза $$AD=6\text{ см}$$, а угол $$\angle ADH=30^\circ$$. Тогда

$$AH=\frac{1}{2}AD=3\text{ см}.$$

Следовательно, площадь ромба равна

$$S_{ABCD}=CD\cdot AH=6\cdot 3=18\text{ см}^2.$$

2) Докажем, что $$\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{A_1B_1}{B_1C_1}.$$

Проведём через точки $$B_2$$ и $$C_2$$ прямую $$c$$, параллельную прямым $$a$$ и $$b$$, так что $$A,B,C\in c$$, $$B_2,C_2\in c$$.

Тогда углы $$\angle ABB_2$$ и $$\angle ACC_2$$ — соответственные при параллельных прямых, значит они равны. Кроме того, $$\angle A$$ — общий для треугольников $$\triangle ABB_2$$ и $$\triangle ACC_2$$. Следовательно,

$$\triangle ABB_2 \sim \triangle ACC_2.$$

Отсюда

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AB_2}{B_2C_2}.$$

Четырёхугольник $$AC_2C_1A_1$$ — параллелограмм, поэтому

$$AB_2=A_1B_1,\qquad B_2C_2=B_1C_1.$$

Подставляя, получаем

$$\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}.$$