Упр.557 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограмма. Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DE, причём точки В и D лежат на одной стороне угла, а С и Е — на другой. Найдите: а) АС, если С.Е = 10 см, AD = 22 см, BD= 8 см; б) BD и DE, если АВ = 10см, АС = 8 см, ВС = 4 см, СЕ = 4 см; в) ВС, если АВ : BD = 2 : 1 и DE = 12 см.

а) Так как $$BC \parallel DE$$, то треугольники $$ABC$$ и $$ADE$$ подобны. Поэтому

$$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}.$$

Сначала найдём $$AB$$:

$$AB=AD-BD=22-8=14\text{ см}.$$

Тогда

$$\frac{14}{AC}=\frac{8}{10}.$$

Отсюда

$$14\cdot 10=8AC,$$

$$AC=\frac{140}{8}=17{,}5\text{ см}.$$

б) Из подобия треугольников $$ABC$$ и $$ADE$$ получаем

$$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CE}.$$

Подставим данные:

$$\frac{10}{AD}=\frac{4}{4}=1,$$

значит

$$AD=10\text{ см}.$$

Тогда

$$BD=AD-AB=10-10=0\text{ см}.$$

Но это противоречит условию построения, поэтому используем отношение из подобия для отрезков на сторонах угла:

$$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}.$$

Тогда

$$\frac{10}{8}=\frac{BD}{4},$$

откуда

$$BD=5\text{ см}.$$

Теперь найдём $$DE$$ из подобия $$\triangle ABC \sim \triangle ADE$$:

$$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}.$$

Так как $$AD=AB+BD=10+5=15\text{ см},$$ то

$$\frac{4}{DE}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.$$

Следовательно,

$$DE=6\text{ см}.$$

в) По условию

$$AB:BD=2:1.$$

Пусть $$AB=2x,$$ $$BD=x,$$ тогда

$$AD=AB+BD=3x.$$

Из подобия треугольников $$ABC$$ и $$ADE$$:

$$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}=\frac{2x}{3x}=\frac{2}{3}.$$

При $$DE=12\text{ см}$$ получаем

$$\frac{BC}{12}=\frac{2}{3},$$

откуда

$$BC=8\text{ см}.$$

Ответ

а) $$AC=17{,}5\text{ см}$$; б) $$BD=5\text{ см},\ DE=6\text{ см}$$; в) $$BC=8\text{ см}$$.