Упр.555 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Пусть а — основание, h — высота, a S — площадь параллелограмма. Найдите: a) S, если а = 15 см, h = 12 см; б) а, если S = 34cm2, h = 8,5 см; в) а, если S = 162cm2, h = 1/2а; г) h, если h = 3а, S= 27. Точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и С А треугольника ABC, причём MN || AC, NP || АВ. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если: а) АВ = 10 см, АС= 15 см, PN : MN = 2 : 3; б) АМ = АР, АВ = а, АС = b.
а) Так как $$MN \parallel AC$$ и $$NP \parallel AB,$$ то четырёхугольник $$AMNP$$ — параллелограмм. Следовательно, его противоположные стороны равны:
$$AM=NP,\qquad MN=AP.$$
Рассмотрим подобные треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle MBN$$:
$$\angle B$$ — общий, $$\angle BMN=\angle BAC$$ как соответственные при $$MN \parallel AC.$$
Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle MBN,$$ поэтому
$$\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{MN}.$$
Пусть $$PN=2x,$$ тогда $$MN=3x.$$
Из подобия получаем:
$$\frac{10}{10-2x}=\frac{15}{3x}.$$
Решим уравнение:
$$\frac{10}{10-2x}=\frac{15}{3x} \Rightarrow 30x=150-30x \Rightarrow 60x=150 \Rightarrow x=2{,}5.$$
Тогда
$$PN=2x=5\text{ см},\qquad MN=3x=7{,}5\text{ см}.$$
Следовательно,
$$AM=NP=5\text{ см},\qquad AP=MN=7{,}5\text{ см}.$$
б) Аналогично, $$AMNP$$ — параллелограмм, а из условия $$AM=AP$$ следует, что это ромб.
Пусть $$AM=x.$$ Тогда по подобию треугольников $$\triangle ABC$$ и $$\triangle MBN$$:
$$\frac{AB}{MB}=\frac{BC}{BN}=\frac{AC}{MN}.$$
Так как $$MB=AB-AM=a-x,$$ а $$MN=AP+PN=2x,$$ удобнее записать отношение через сторону $$AB$$ и отрезок $$AM$$:
$$\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{MN} \Rightarrow \frac{a}{a-x}=\frac{b}{x}.$$
Отсюда
$$ax=b(a-x) \Rightarrow ax=ab-bx \Rightarrow (a+b)x=ab,$$
значит
$$x=\frac{ab}{a+b}.$$
Так как $$AM=NP$$ и $$MN=AP,$$ получаем:
$$AM=NP=MN=AP=\frac{ab}{a+b}.$$
Ответ
а) $$AM=NP=5\text{ см},\; MN=AP=7{,}5\text{ см};$$
б) $$AM=NP=MN=AP=\frac{ab}{a+b}.$$
