Упр.555 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Пусть $$a$$ — основание, $$h$$ — высота, $$S$$ — площадь параллелограмма. Найдите:
а) $$S$$, если $$a=15\ \text{см}$$, $$h=12\ \text{см}$$;
б) $$a$$, если $$S=34\ \text{см}^2$$, $$h=8{,}5\ \text{см}$$;
в) $$a$$, если $$S=162\ \text{см}^2$$, $$h=\frac{1}{2}a$$;
г) $$h$$, если $$h=3a$$, $$S=27$$.
Точки $$M$$, $$N$$ и $$P$$ лежат соответственно на сторонах $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$ треугольника $$ABC$$, причём $$MN\parallel AC$$, $$NP\parallel AB$$. Найдите стороны четырёхугольника $$AMNP$$, если:
а) $$AB=10\ \text{см}$$, $$AC=15\ \text{см}$$, $$PN:MN=2:3$$;
б) $$AM=AP$$, $$AB=a$$, $$AC=b$$.
а) Так как $$MN \parallel AC$$ и $$NP \parallel AB,$$ то $$AMNP$$ — параллелограмм. Следовательно, $$AM=NP$$ и $$MN=AP.$$
Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle MBN.$$ Они подобны, так как $$\angle B$$ — общий, а $$\angle BMN=\angle BAC$$ как соответственные при параллельных прямых.
Пусть $$PN=2x,$$ тогда $$MN=3x.$$ Из подобия получаем:
$$\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{MN}$$
Так как $$MB=AB-AM=10-2x,$$ а $$AC=15,$$ то
$$\frac{10}{10-2x}=\frac{15}{3x}$$
$$\frac{10}{10-2x}=\frac{5}{x}$$
$$10x=50-10x$$
$$20x=50,\quad x=2{,}5$$
Тогда
$$PN=2x=5\text{ см},\qquad MN=3x=7{,}5\text{ см}.$$
Значит,
$$AM=NP=5\text{ см},\qquad AP=MN=7{,}5\text{ см}.$$
б) По условию $$AM=AP,$$ значит параллелограмм $$AMNP$$ — ромб.
Пусть $$AM=x.$$ Тогда $$MB=AB-AM=a-x,$$ $$NC=BC-BN,$$ и из подобия треугольников $$\triangle ABC$$ и $$\triangle MBN$$ имеем
$$\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{MN}.$$
Подставим обозначения:
$$\frac{a}{a-x}=\frac{b}{x}.$$
Отсюда
$$ax=b(a-x)$$
$$ax=ab-bx$$
$$(a+b)x=ab$$
$$x=\frac{ab}{a+b}.$$
Так как $$AM=NP=MN=AP=x,$$ то
$$MN=AP=AM=NP=\frac{ab}{a+b}.$$
Ответ
а) $$AM=NP=5\text{ см},\; MN=AP=7{,}5\text{ см};$$ б) $$AM=NP=MN=AP=\frac{ab}{a+b}.$$
