Упр.552 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 2,7 м? Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите: а) АВ, если ОВ = 4см, OD= 10 см, DC = 25 см; б) AO/OC и BO/OD если АВ = a, DC=b; в) АО, если АВ = 9,6 дм, DC = 24 см, АС = 15 см.

Рассмотрим трапецию $$ABCD$$, у которой $$AB \parallel CD$$. Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$.

Тогда треугольники $$\triangle AOB$$ и $$\triangle DOC$$ подобны:

• $$\angle AOB = \angle DOC$$ как вертикальные;
• $$\angle ABO = \angle DCO$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$.

Из подобия треугольников получаем:

$$\frac{AB}{DC}=\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}.$$

а) Дано $$BO=4\text{ см}$$, $$OD=10\text{ см}$$, $$DC=25\text{ см}$$.

Найдём коэффициент подобия:

$$\frac{BO}{OD}=\frac{4}{10}=0{,}4.$$

Тогда

$$\frac{AB}{DC}=0{,}4,$$

откуда

$$AB=0{,}4\cdot 25=10\text{ см}.$$

б) Если $$AB=a$$, $$DC=b$$, то из той же пропорции:

$$\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{DC}=\frac{a}{b}.$$

в) Дано $$AB=9{,}6\text{ дм}=96\text{ см}$$, $$DC=24\text{ см}$$, $$AC=15\text{ см}.$$

Из подобия:

$$\frac{AB}{DC}=\frac{AO}{OC}=\frac{96}{24}=4.$$

Значит,

$$\frac{AO}{OC}=4,$$

то есть $$AO=4\cdot OC.$$

Так как $$AC=AO+OC=15\text{ см},$$ получаем:

$$4OC+OC=15,$$

$$5OC=15,$$

$$OC=3\text{ см},$$

$$AO=4\cdot 3=12\text{ см}.$$

Ответ

а) $$AB=10\text{ см}$$; б) $$\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}=\frac{a}{b}$$; в) $$AO=12\text{ см}$$.