Упр.550 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите стороны прямоугольника, если: а) его площадь равна 250 см2, а одна сторона в 2,5 раза больше другой; б) его площадь равна 9 м2, а периметр равен 12 м. По данным рисунка 193 найдите x и у.

а) Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$, причём $$a=2{,}5b$$. Тогда по формуле площади прямоугольника

$$S=ab=250.$$

Подставим $$a=2{,}5b$$:

$$2{,}5b^2=250,$$

$$b^2=100,$$

$$b=10\text{ см}.$$

Тогда

$$a=2{,}5\cdot 10=25\text{ см}.$$

б) Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда

$$ab=9,$$

$$2(a+b)=12,$$

откуда

$$a+b=6.$$

Выразим $$a$$:

$$a=6-b.$$

Подставим в формулу площади:

$$b(6-b)=9,$$

$$6b-b^2=9,$$

$$b^2-6b+9=0,$$

$$\left(b-3\right)^2=0.$$

Следовательно,

$$b=3\text{ м}, \qquad a=6-3=3\text{ м}.$$

По рисунку 193.

а) Треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle DCE$$ прямоугольные, при этом $$\angle A=\angle D=90^\circ$$ и $$\angle BCA=\angle CED$$. Значит,

$$\triangle ABC \sim \triangle DCE.$$

Тогда

$$\frac{AB}{DC}=\frac{AC}{CE}.$$

Подставим данные:

$$\frac{8}{6}=\frac{12}{x},$$

откуда

$$x=9.$$

б) Треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle DCE$$ также подобны, так как $$\angle A=\angle D=90^\circ$$ и имеют общий острый угол.

Найдём $$DE$$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$DCE$$:

$$DE=\sqrt{EC^2-DC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=6.$$

Из подобия:

$$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DC}.$$

Тогда

$$\frac{y}{6}=\frac{28}{8},$$

$$y=21.$$

Ответ

а) $$25\text{ см}$$ и $$10\text{ см}$$; б) $$3\text{ м}$$ и $$3\text{ м}$$; по рисунку 193: а) $$x=9$$, б) $$y=21$$.