Упр.540 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры. Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины М, F и N лежат соответственно на сторонах CD, СЕ и DE. Найдите стороны CD и DE, если CF = 8 см, EF = 12 см.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — точка пересечения двух взаимно перпендикулярных осей симметрии фигуры. Докажем, что $$O$$ — центр симметрии.

Возьмём любую точку фигуры $$A$$. Отразим её сначала относительно одной оси симметрии, а затем относительно другой. Так как оси взаимно перпендикулярны, после двух отражений точка перейдёт в точку $$A’$$, для которой $$O$$ является серединой отрезка $$AA’$$. Значит, каждой точке фигуры соответствует симметричная ей точка относительно $$O$$.

Следовательно, точка пересечения двух взаимно перпендикулярных осей симметрии является центром симметрии фигуры.

Теперь решим вторую задачу.

В ромбе $$DMFN$$ диагональ $$DF$$ является биссектрисой угла при вершине $$D$$, поэтому

$$\angle MDF=\angle FDN.$$

Так как точки $$M$$ и $$F$$ лежат соответственно на сторонах $$CD$$ и $$CE$$, то углы $$\angle MDF$$ и $$\angle FDN$$ являются углами при вершине $$D$$ в треугольнике $$CDE$$, а значит, треугольники $$CDF$$ и $$FDE$$ подобны. Тогда

$$\frac{CD}{DE}=\frac{CF}{FE}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.$$

Следовательно,

$$CD=\frac{2}{3}DE.$$

Найдём сторону $$CE$$:

$$CE=CF+FE=8+12=20\text{ см}.$$

По условию периметр треугольника $$CDE$$ равен $$55\text{ см}$$, значит

$$CD+DE=55-CE=55-20=35\text{ см}.$$

Подставим $$CD=\frac{2}{3}DE$$:

$$\frac{2}{3}DE+DE=35,$$

$$\frac{5}{3}DE=35,$$

$$DE=35\cdot \frac{3}{5}=21\text{ см}.$$

Тогда