Упр.534 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В трапеции $$ABCD$$ с большим основанием $$AD$$ диагональ $$AC$$ перпендикулярна к боковой стороне $$CD$$, угол $$BAC = \angle CAD$$. Найдите $$AD$$, если периметр трапеции равен 20 см, а $$\angle D = 60^\circ$$.
2. Пропорциональны ли изображённые на рисунке 189 отрезки: а) $$AC$$, $$CD$$ и $$M_1M_2$$, $$MM_1$$; б) $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$MM_2$$, $$MM_1$$, $$M_1M_2$$; в) $$AB$$, $$BD$$ и $$MM_1$$, $$M_1M_2$$?

Так как $$\angle D=60^\circ$$, а $$AC\perp CD$$, то в треугольнике $$ACD$$

$$\angle CAD=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

По условию $$\angle BAC=\angle CAD$$, значит

$$\angle BAC=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle A=\angle BAC+\angle CAD=30^\circ+30^\circ=60^\circ.$$

Получаем $$\angle A=\angle D$$, следовательно, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная, поэтому

$$AB=CD.$$

Так как $$BC\parallel AD$$, а $$AC$$ — секущая, то

$$\angle BCA=\angle CAD=30^\circ.$$

В треугольнике $$ABC$$ имеем

$$\angle BAC=\angle BCA=30^\circ,$$

значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный и

$$AB=BC.$$

Пусть $$AB=BC=CD=x$$. Тогда из периметра трапеции получаем

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=3x+AD=20.$$

Но из прямоугольного треугольника $$ACD$$ при $$\angle D=60^\circ$$ следует, что

$$CD=\frac12 AD,$$

то есть $$x=\frac12 AD$$. Подставим:

$$3\cdot \frac12 AD+AD=20,$$

$$\frac52 AD=20,$$

$$AD=8\text{ см}.$$

Ответ: $$8\text{ см}$$.