Упр.533 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На диагонали АС квадрата ABCD взята точка М так, что АМ = АВ. Через точку М проведена прямая, перпендикулярная к прямой АС и пересекающая ВС в точке Н. Докажите, что ВН = НМ = МС. Найдите отношение отрезков АВ и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах?

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то его диагональ $$AC$$ делит угол при вершине $$C$$ пополам. Значит,

$$\angle BCA=45^\circ.$$

По условию $$MH\perp AC$$, поэтому

$$\angle CMH=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$CMH$$ равнобедренный, и

$$HM=CM.$$

Проведём отрезок $$AH$$. Тогда в треугольниках $$ABH$$ и $$AMH$$:

$$AB=AM$$ по условию,

$$AH$$ — общая сторона,

$$\angle BAH=\angle HAM$$, так как $$AH$$ лежит на диагонали $$AC$$, а диагональ квадрата биссектрисса угла $$A$$.

Значит, $$\triangle ABH \cong \triangle AMH$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$BH=HM.$$

Тогда

$$BH=HM=CM.$$

Теперь найдём отношение $$\dfrac{AB}{CD}$$:

$$\frac{AB}{CD}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}.$$

Если выразить длины в миллиметрах, получим:

$$AB=15\cdot 10=150\text{ мм}, \qquad CD=20\cdot 10=200\text{ мм},$$

и тогда

$$\frac{AB}{CD}=\frac{150}{200}=\frac{3}{4}.$$

Отношение не изменится, так как при переходе к другим единицам измерения обе длины умножаются на одно и то же число.

Ответ

$$BH=HM=MC,$$ $$\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{3}{4}.$$ Нет, при переходе к миллиметрам отношение не изменится.