Упр.530 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС высота AD равна 8 см. Найдите площадь треугольника ABC, если медиана DM треугольника ADC равна 8 см.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $$O$$. Тогда диагонали ромба делят его углы пополам, а также пересекаются в серединах.

Рассмотрим, например, стороны $$AB$$ и $$BC$$. Так как $$ABCD$$ — ромб, то $$AB=BC$$, а диагональ $$BD$$ является биссектрисой углов при вершинах $$B$$ и $$D$$. Тогда треугольники $$\triangle BNO$$ и $$\triangle BMO$$ равны по гипотенузе и острому углу, откуда $$ON=OM$$.

Аналогично, из равенства треугольников, построенных у других сторон ромба, получаем

$$ON=OM=OE=OF.$$

Значит, точка $$O$$ равноудалена от всех сторон ромба.

Теперь решим вторую задачу.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB=AC$$, $$AD$$ — высота к основанию $$BC$$, $$AD=8$$ см, а $$DM$$ — медиана треугольника $$ADC$$, $$DM=8$$ см.

Так как в треугольнике $$ADC$$ точка $$M$$ — середина стороны $$AC$$, то отрезок $$DM$$ — медиана. Построим через $$A$$ прямую $$AE \parallel BC$$ и через $$C$$ прямую $$CE \parallel AD$$. Тогда $$AEDC$$ — прямоугольник, а диагональ $$DE$$ проходит через середину $$AC$$, то есть $$M$$. Следовательно, $$DM=ME=AM=MC$$.

Из условия $$DM=8$$ см получаем

$$AC=AM+MC=2DM=16$$ см.

В прямоугольном треугольнике $$ADC$$:

$$ DC^2=AC^2-AD^2=16^2-8^2=256-64=192, $$

откуда

$$DC=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\text{ см}.$$

Так как $$AD$$ — высота равнобедренного треугольника, то она является и медианой, значит

$$BD=DC=8\sqrt{3}\text{ см}.$$

Тогда

$$BC=BD+DC=16\sqrt{3}\text{ см}.$$

Площадь треугольника $$ABC$$ равна

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AD =\frac{1}{2}\cdot 16\sqrt{3}\cdot 8 =64\sqrt{3}\text{ см}^2. $$