Упр.529 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВК и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является биссектрисой угла КВМ. Диагонали четырёхугольника равны 16 см и 20 см и пересекаются под углом в 30°. Найдите площадь этого четырёхугольника.

Подробный ответ

1) Пусть в ромбе $$ABCD$$ из вершины $$B$$ опущены перпендикуляры $$BK \perp AD$$ и $$BM \perp DC$$.

В ромбе все стороны равны, значит $$AB=BC$$. Кроме того, диагональ $$BD$$ делит углы ромба пополам, то есть

$$\angle ABD=\angle DBC.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle DBA$$ и $$\triangle DCB$$. У них:

$$DB$$ — общая сторона,

$$AB=BC,$$

$$\angle DBA=\angle CBD.$$

Следовательно, $$\triangle DBA \cong \triangle DCB$$ по двум сторонам и углу между ними.

Отсюда получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle BDA=\angle BDC.$$

Так как $$BK \perp AD$$ и $$BM \perp DC$$, то углы между прямой $$BD$$ и перпендикулярами к сторонам $$AD$$ и $$DC$$ равны дополнениям к равным углам $$\angle BDA$$ и $$\angle BDC$$. Значит,

$$\angle KBD=\angle DBM.$$

Итак, луч $$BD$$ делит угол $$KBM$$ пополам, то есть является биссектрисой угла $$KBM$$.

2) Площадь четырёхугольника через диагонали и угол между ними равна

$$S=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\varphi.$$

Подставим данные:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 16 \cdot 20 \cdot \sin 30^\circ.$$

Так как $$\sin 30^\circ=\frac{1}{2},$$ то

$$S=\frac{1}{2}\cdot 16 \cdot 20 \cdot \frac{1}{2}=80.$$