Упр.528 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Точки М и N — середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и МС делят диагональ BD на три равные части. В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АОВ, если боковая сторона CD трапеции равна 12 см, а расстояние от точки О до прямой CD равно 5 см.

Подробный ответ

Обозначим через $$H$$ и $$E$$ основания перпендикуляров из точек $$B$$ и $$C$$ на прямую $$AD$$. Тогда $$BH \perp AD$$ и $$CE \perp AD$$, а так как $$BC \parallel AD$$, то расстояния между параллельными прямыми одинаковы, значит $$BH=CE$$.

Площадь треугольника $$COD$$ найдём по формуле площади треугольника через основание и высоту:

$$S_{COD}=\frac{1}{2}\cdot CD \cdot OF=\frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 5=30\ \text{см}^2.$$

Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$. Их площади равны, так как у них общее основание $$AD$$, а высоты к нему равны:

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}AD\cdot BH,\qquad S_{ACD}=\frac{1}{2}AD\cdot CE,$$

причём $$BH=CE$$, следовательно, $$S_{ABD}=S_{ACD}.$$

Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника, поэтому

$$S_{ABD}=S_{AOB}+S_{AOD},$$
$$S_{ACD}=S_{COD}+S_{AOD}.$$

Так как $$S_{ABD}=S_{ACD}$$, то

$$S_{AOB}=S_{COD}.$$

Следовательно,

$$S_{AOB}=30\ \text{см}^2.$$