Упр.526 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны. В ромбе высота, равная 4корень2/6см, составляет 2/3 большей диагонали. Найдите площадь ромба.

Подробный ответ

1) Докажем, что $$ABCD$$ — параллелограмм.

Так как $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник, то сумма его углов равна $$360^\circ$$:

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ.$$

По условию $$\angle A=\angle C$$ и $$\angle B=\angle D$$. Тогда

$$2\angle A+2\angle B=360^\circ,$$

откуда

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Следовательно, прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны как односторонние при секущей $$BC$$.

Аналогично из равенства $$\angle B+\angle C=180^\circ$$ получаем $$AD \parallel BC$$.

Итак, обе пары противоположных сторон параллельны, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

2) Найдём площадь ромба.

Пусть большая диагональ равна $$AC$$. По условию высота ромба

$$BH=\frac{4\sqrt2}{6}=\frac{2\sqrt2}{3}\text{ см},$$

и она составляет $$\frac23$$ большей диагонали:

$$BH=\frac23\,AC.$$

Тогда

$$AC=\frac32\cdot BH=\frac32\cdot \frac{2\sqrt2}{3}=\sqrt2\text{ см}.$$

Площадь ромба можно выразить через диагонали:

$$S=\frac12 AC\cdot BD.$$

Так как в ромбе диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам, рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $$\frac{AC}{2}$$ и $$\frac{BD}{2}$$ и гипотенузой $$AD$$. Кроме того, площадь ромба равна произведению стороны на высоту:

$$S=AD\cdot BH.$$

Из условия $$BH=\frac23 AC$$, значит

$$S=AD\cdot \frac23 AC.$$

Найдём сторону $$AD$$. В прямоугольном треугольнике $$AOD$$:

$$AD^2=AO^2+OD^2,$$

где

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad OD=\frac{BD}{2}.$$

Так как $$S=\frac12 AC\cdot BD=AD\cdot BH$$ и $$BH=\frac23 AC$$, то

$$\frac12 AC\cdot BD=AD\cdot \frac23 AC,$$

откуда

$$BD=\frac43 AD,$$

следовательно,