Упр.526 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.
- В ромбе высота, равная $$\frac{4\sqrt{2}}{6}\text{ см}$$, составляет $$\frac{2}{3}$$ большей диагонали. Найдите площадь ромба.
Пусть в ромбе $$ABCD$$ высота $$BH=\frac{4\sqrt2}{6}\text{ см}$$, а большая диагональ $$AC$$. По условию
$$BH=\frac{2}{3}AC,$$
значит
$$AC=\frac{3}{2}\cdot \frac{4\sqrt2}{6}=\sqrt2\text{ см}.$$
Площадь ромба можно выразить через диагональ и сторону:
$$S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD.$$
Так как в ромбе диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам, рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $$\frac{AC}{2}$$ и $$\frac{BD}{2}$$ и гипотенузой $$AD$$. Кроме того, высота к стороне $$AD$$ равна $$BH$$, поэтому
$$S_{ABCD}=AD\cdot BH.$$
Из соотношения $$BH=\frac23 AC$$ получаем
$$\frac12 BD=\frac23 AD,$$
то есть
$$BD=\frac43 AD.$$
Теперь по теореме Пифагора для треугольника с катетами $$\frac{AC}{2}$$ и $$\frac{BD}{2}$$:
$$AD^2=\left(\frac{AC}{2}\right)^2+\left(\frac{BD}{2}\right)^2$$
$$AD^2=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{2}{3}AD\right)^2$$
$$AD^2=\frac12+\frac49AD^2.$$
Отсюда
$$\frac59AD^2=\frac12,$$
$$AD^2=\frac{9}{10},\qquad AD=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$
Тогда
$$S_{ABCD}=AD\cdot BH=\frac{3}{\sqrt{10}}\cdot \frac{4\sqrt2}{6}=\frac{2\sqrt5}{5}\text{ см}^2.$$
Ответ: $$\frac{2\sqrt5}{5}\text{ см}^2$$.
