Упр.525 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°. Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника ABC, до прямой АВ равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ=13см, ВС = 14 см, АС = 15 см.

Подробный ответ

Пусть $$S_{ABC}$$ — площадь треугольника $$ABC$$. Тогда

$$S_{ABC}=S_{ABM}+S_{BMC}+S_{AMC}.$$

Найдём сначала площадь треугольника $$ABC$$ по формуле Герона:

$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{13+14+15}{2}=21,$$
$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}.$$

$$S_{ABC}=\sqrt{7\cdot 3\cdot 4\cdot 2\cdot 7\cdot 2\cdot 3}=84\text{ см}^2.$$

Теперь найдём площади треугольников $$ABM$$ и $$AMC$$:

$$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot 6=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 6=39\text{ см}^2,$$
$$S_{AMC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot 2=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 2=15\text{ см}^2.$$

Тогда

$$S_{BMC}=S_{ABC}-S_{ABM}-S_{AMC}=84-39-15=30\text{ см}^2.$$

С другой стороны, если обозначить искомое расстояние от точки $$M$$ до прямой $$BC$$ через $$MF$$, то

$$S_{BMC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot MF=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot MF.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{2}\cdot 14\cdot MF=30,$$
$$7MF=30,$$
$$MF=\frac{30}{7}=4\frac{2}{7}\text{ см}.$$