Упр.523 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.
2. Два квадрата со стороной $$a$$ имеют одну общую вершину, причём сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найдите площадь общей части этих квадратов.

Пусть $$ABCD$$ и $$AEFK$$ — данные квадраты, $$AB=AE=a$$. Обозначим через $$Q$$ точку пересечения отрезков $$AC$$ и $$EF$$. Тогда площадь общей части квадратов равна

$$S_{AEQD}=S_{ACD}-S_{ECQ}.$$

Найдём эти площади.

Так как $$ABCD$$ — квадрат, то $$AD=DC=a$$, а диагональ $$AC$$ равна

$$AC^2=AD^2+DC^2=a^2+a^2=2a^2,$$

значит,

$$AC=a\sqrt2.$$

Тогда

$$EC=AC-AE=a\sqrt2-a=a(\sqrt2-1).$$

Угол $$\angle ECQ$$ прямой, так как $$AC\perp EF$$, а значит

$$\angle ECQ=45^\circ,$$

следовательно, треугольник $$ECQ$$ равнобедренный, и

$$EQ=EC.$$

Тогда

$$S_{ECQ}=\frac12\cdot QE\cdot EC=\frac12\cdot EC^2=\frac12a^2(\sqrt2-1)^2.$$

Вычислим:

$$S_{ECQ}=\frac12a^2(2-2\sqrt2+1)=\frac12a^2(3-2\sqrt2).$$

Площадь треугольника $$ACD$$:

$$S_{ACD}=\frac12\cdot AD\cdot DC=\frac12\cdot a\cdot a=\frac{a^2}{2}.$$

Тогда

$$S_{AEQD}=\frac{a^2}{2}-\frac12a^2(3-2\sqrt2)=\frac{a^2}{2}(2\sqrt2-2)=a^2(\sqrt2-1).$$

Ответ: $$a^2(\sqrt2-1).$$