Упр.521 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Периметр параллелограмма $$ABCD$$ равен $$46\ \text{см}$$, $$AB=14\ \text{см}$$. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла $$A$$? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.
2. Докажите, что если диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ взаимно перпендикулярны, то $$AD^2+BC^2=AB^2+CD^2$$.

Пусть биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$DC$$ в точке $$E$$.

Найдём сначала сторону $$AD$$. Периметр параллелограмма равен

$$P_{ABCD}=2(AB+AD)=46,$$

откуда

$$AB+AD=23,$$

$$14+AD=23,$$

$$AD=9\text{ см}.$$

Так как $$AB \parallel DC$$, а $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle DAE=\angle AEC.$$

Следовательно, треугольник $$ADE$$ равнобедренный, значит

$$DE=AD=9\text{ см}.$$

Теперь найдём второй отрезок на стороне $$DC$$:

$$DC=AB=14\text{ см},$$

$$EC=DC-DE=14-9=5\text{ см}.$$

Итак, биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$CD$$.

Ответ: $$CD$$; $$DE=9\text{ см},\ EC=5\text{ см}.$$