Упр.515 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.
- Задание учебника 2023 года. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна $$20\ \text{см}$$, а угол при основании равен $$30^\circ$$; б) высота, проведённая к боковой стороне, равна $$6\ \text{см}$$ и образует с основанием угол в $$45^\circ$$.
а) Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ боковые стороны равны $$AB=BC=20$$ см, а угол при основании $$\angle A=30^\circ$$. Опустим высоту $$BM$$ на основание $$AC$$. Тогда в равнобедренном треугольнике эта высота является также медианой, значит $$AM=MC$$.
Треугольник $$ABM$$ прямоугольный, поэтому
$$\angle A=30^\circ,\qquad BM=AB\cdot \sin 30^\circ=20\cdot \frac12=10\text{ см}.$$
Найдём $$AM$$:
$$AM=AB\cdot \cos 30^\circ=20\cdot \frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3\text{ см}.$$
Тогда
$$AC=2AM=20\sqrt3\text{ см}.$$
Площадь треугольника:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BM=\frac12\cdot 20\sqrt3\cdot 10=100\sqrt3\text{ см}^2.$$
б) Пусть $$AH=6$$ см — высота, проведённая к боковой стороне $$BC$$, и $$\angle HAC=45^\circ$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHC$$.
Так как $$\angle AHC=90^\circ$$, то
$$\angle HCA=90^\circ-\angle HAC=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$
Следовательно, треугольник $$AHC$$ равнобедренный, значит
$$HC=AH=6\text{ см}.$$
Тогда по теореме Пифагора
$$AC^2=AH^2+HC^2=6^2+6^2=72,$$
откуда
$$AC=6\sqrt2\text{ см}.$$
Так как $$AB=BC$$, то углы при основании равны: $$\angle A=\angle C=45^\circ$$, значит $$\angle B=90^\circ$$. Следовательно, $$AH$$ совпадает с $$AB$$, и потому
$$AB=AH=6\text{ см}.$$
Площадь треугольника:
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC=\frac12\cdot 6\cdot 6=18\text{ см}^2.$$
Ответ
а) $$100\sqrt3\text{ см}^2$$; б) $$18\text{ см}^2$$.
