Упр.515 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°; б) высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол в 45°.

Подробный ответ

а) Пусть $$BM$$ — высота равнобедренного треугольника $$ABC$$, проведённая к основанию $$AC$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$BM$$ является также медианой, значит $$AM=MC$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABM$$. Так как $$\angle A=30^\circ$$ и $$AB=20$$ см, то

$$BM=AB\sin 30^\circ=20\cdot \frac12=10\text{ см}.$$

Найдём основание:

$$AM=AB\cos 30^\circ=20\cdot \frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3\text{ см},$$

следовательно,

$$AC=2AM=20\sqrt3\text{ см}.$$

Тогда площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BM=\frac12\cdot 20\sqrt3\cdot 10=100\sqrt3\text{ см}^2.$$

б) Пусть $$AH$$ — высота, проведённая к боковой стороне $$BC$$, причём $$AH=6$$ см и $$\angle HAC=45^\circ$$.

Треугольник $$AHC$$ прямоугольный, так как $$AH\perp BC$$, а значит $$\angle AHC=90^\circ$$. Тогда

$$\angle HCA=90^\circ-\angle HAC=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle AHC$$ — равнобедренный, поэтому

$$HC=AH=6\text{ см}.$$

Найдём гипотенузу $$AC$$:

$$AC^2=AH^2+HC^2=6^2+6^2=72,$$

откуда

$$AC=6\sqrt2\text{ см}.$$

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный и $$AB=BC$$, то углы при основании равны. Из $$\angle HCA=45^\circ$$ получаем $$\angle C=45^\circ$$, значит $$\angle A=45^\circ$$ и $$\angle B=90^\circ$$. Тогда $$AH$$ совпадает с боковой стороной $$AB$$, то есть

$$AB=AH=6\text{ см}.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot HC=\frac12\cdot 6\cdot 6=18\text{ см}^2.$$