Упр.513 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат. Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами.

Подробный ответ

1) Так как $$ABCD$$ — ромб, то все его стороны равны, а диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей через $$O$$.

Тогда

$$AO=OC=\frac{AC}{2}=\frac{24}{2}=12\text{ м},$$

$$BO=OD=\frac{BD}{2}=\frac{18}{2}=9\text{ м}.$$

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOB$$. По теореме Пифагора:

$$AB^2=AO^2+BO^2,$$

$$AB^2=12^2+9^2=144+81=225,$$

$$AB=15\text{ м}.$$

Так как все стороны ромба равны, то

$$P_{ABCD}=4AB=4\cdot 15=60\text{ м}.$$

3) Площадь ромба найдём по диагоналям:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 18=216\text{ м}^2.$$

С другой стороны, площадь ромба равна произведению стороны на высоту: