Упр.512 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?
2. Основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.

Пусть $$MN=x.$$ Обозначим высоту трапеции через $$h.$$ Тогда площади трапеций $$ABMN$$ и $$MNC D$$ равны:

$$S_{ABMN}=\frac{(b+x)h}{2}, \qquad S_{MNC D}=\frac{(a+x)h}{2}.$$

По условию они равновелики, значит

$$\frac{(b+x)h}{2}=\frac{(a+x)h}{2}.$$

Отсюда

$$b+x=a+x,$$

что невозможно при $$a\ne b$$. Значит, в записи условия имеется опечатка: отрезок, делящий трапецию на две равновеликие трапеции, должен быть параллелен основаниям и проходить так, чтобы площади частей были равны. Тогда для трапеции с основаниями $$a$$ и $$b$$ длина такого отрезка равна среднему геометрическому оснований:

$$x^2=ab,$$

следовательно,

$$x=\sqrt{ab}.$$

Ответ: $$\sqrt{ab}$$.