Упр.511 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом. В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ и CD диагонали пересекаются в точке O. а) Сравните площади треугольников ABD и ACD. б) Сравните площади треугольников АВО и СDO. в) Докажите, что выполняется равенство ОА x ОВ = ОС x OD.

Подробный ответ

Рассмотрим ромб $$ABCD$$. По определению ромба все его стороны равны:

$$AB=BC=CD=DA.$$

Если один из углов ромба прямой, например $$\angle A=90^\circ$$, то соседний с ним угол равен

$$\angle B=180^\circ-\angle A=180^\circ-90^\circ=90^\circ.$$

Так как в ромбе противоположные углы равны, то

$$\angle C=\angle A=90^\circ,\qquad \angle D=\angle B=90^\circ.$$

Следовательно, у четырёхугольника $$ABCD$$ все углы прямые, а все стороны равны. Значит, $$ABCD$$ — квадрат.

Теперь рассмотрим трапецию $$ABCD$$, у которой $$AB \parallel CD$$, а диагонали пересекаются в точке $$O$$.

а) Треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ имеют общее основание $$AD$$. Их высоты, опущенные на прямую $$AD$$, равны, так как точки $$B$$ и $$C$$ лежат на прямой, параллельной $$AD$$. Поэтому

$$S_{ABD}=S_{ACD}.$$

б) Из равенства площадей треугольников $$ABD$$ и $$ACD$$ вычтем площадь треугольника $$AOD$$:

$$S_{ABO}=S_{ABD}-S_{AOD},$$

$$S_{CDO}=S_{ACD}-S_{AOD}.$$

Так как $$S_{ABD}=S_{ACD}$$, то

$$S_{ABO}=S_{CDO}.$$

в) Рассмотрим треугольники $$BOA$$ и $$COD$$. У них

$$\angle BOA=\angle COD$$

как вертикальные углы. Тогда по формуле площади через две стороны и угол между ними:

$$S_{BOA}=\frac{1}{2}\,OA\cdot OB\cdot \sin \angle BOA,$$

$$S_{COD}=\frac{1}{2}\,OC\cdot OD\cdot \sin \angle COD.$$

Поскольку $$\angle BOA=\angle COD$$, получаем