Упр.509 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $$45^\circ$$.
2. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.

Так как $$ABCD$$ — ромб, то все его стороны равны, а противоположные углы равны:

$$\angle A=\angle C=45^\circ,$$

тогда

$$\angle B=\angle D=\frac{360^\circ-2\cdot 45^\circ}{2}=135^\circ.$$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Поэтому диагональ $$BD$$ делит угол $$B$$ пополам, а диагональ $$AC$$ — угол $$A$$ пополам.

Следовательно,

$$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle B=\frac{135^\circ}{2}=67^\circ30′,$$

$$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle A=\frac{45^\circ}{2}=22^\circ30′.$$

Ответ: $$\angle ABD=67^\circ30′,$$ $$\angle BAC=22^\circ30′.$$