Упр.507 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами. Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника?

а) Пусть $$ABCD$$ — ромб, причём его диагональ равна стороне: $$AB=BD$$. Так как в ромбе все стороны равны, то

$$AB=BC=CD=DA.$$

Тогда в треугольниках $$ABD$$ и $$BDC$$ имеем

$$AB=BD,\quad AD=AB,\quad BD=AD,$$

значит, оба треугольника равносторонние. Следовательно,

$$\angle ABD=\angle ADB=\angle CBD=\angle CDB=60^\circ.$$

Тогда углы ромба равны:

$$\angle B=\angle ABD+\angle DBC=60^\circ+60^\circ=120^\circ,$$

$$\angle D=\angle ADB+\angle BDC=60^\circ+60^\circ=120^\circ.$$

В ромбе противоположные углы равны, значит

$$\angle A=\angle C=60^\circ.$$

б) Диагонали ромба делят его углы пополам. Поэтому

$$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle B=60^\circ,$$

$$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle A=30^\circ.$$

Следовательно, диагонали ромба образуют со сторонами углы $$60^\circ$$ и $$30^\circ$$.

Во второй части задачи равенство всех сторон двух треугольников не означает, что площадь первого больше площади второго. Площадь треугольника равна

$$S=\frac{1}{2}ah,$$

то есть зависит не только от основания, но и от высоты. Если у треугольников разные высоты, то при больших сторонах у первого треугольника площадь может оказаться меньше.

Например, если

$$\frac{AC}{DF}<\frac{EH_2}{BH_1},$$

то

$$S_{ABC}<S_{DEF}.$$

Значит, из условия это не следует.

Ответ

а) $$\angle A=\angle C=60^\circ,\ \angle B=\angle D=120^\circ.$$
б) $$\angle ABD=60^\circ,\ \angle BAC=30^\circ.$$
Нет, не следует.