Упр.507 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.
- Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника?
Пусть $$ABCD$$ — ромб, а его диагонали пересекаются в точке $$O$$.
По условию одна из диагоналей равна стороне ромба. Тогда в ромбе диагонали делят его на равные треугольники, а также биссектрисы его углов. Рассмотрим, например, случай $$AB=BD$$.
Так как в ромбе все стороны равны, то
$$AB=BC=CD=DA,$$
а по условию $$AB=BD$$. Значит, в треугольниках $$ABD$$ и $$BDC$$ имеем
$$AB=AD=BD,$$
$$BC=CD=BD.$$
Следовательно, оба треугольника равносторонние, поэтому
$$\angle A=\angle ABD=\angle ADB=60^\circ,$$
$$\angle C=\angle CBD=\angle CDB=60^\circ.$$
Тогда углы ромба при вершинах $$B$$ и $$D$$ равны
$$\angle B=\angle ABD+\angle DBC=60^\circ+60^\circ=120^\circ,$$
$$\angle D=\angle ADB+\angle BDC=60^\circ+60^\circ=120^\circ.$$
Теперь найдём углы, которые диагонали образуют со сторонами. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов, значит
$$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle A=\frac{1}{2}\cdot 60^\circ=30^\circ,$$
$$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle B=\frac{1}{2}\cdot 120^\circ=60^\circ.$$
Аналогично для остальных углов при диагоналях получаем те же значения.
Ответ: $$\angle A=\angle C=60^\circ,$$ $$\angle B=\angle D=120^\circ;$$ углы между диагоналями и сторонами равны $$30^\circ$$ и $$60^\circ$$.
