Упр.504 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла А делит сторону: а) ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм. Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

Подробный ответ

1) Пусть биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$E$$.

Тогда $$BC=BE+EC=45{,}6+7{,}85=53{,}45\text{ см}.$$

В прямоугольнике $$ABCD$$ имеем $$AD=BC=53{,}45\text{ см}.$$

Так как $$AB\parallel CD$$, а $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle BAE=\angle EAD.$$

Кроме того, $$\angle ABE=\angle AED$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$AB\parallel CD$$ и секущей $$AE$$. Значит, $$\triangle ABE$$ равнобедренный, поэтому

$$AB=BE=45{,}6\text{ см}.$$

Тогда периметр прямоугольника:

$$P_{ABCD}=2(AB+BC)=2(45{,}6+53{,}45)=198{,}1\text{ см}.$$

2) Пусть биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$DC$$ в точке $$E$$.

Тогда $$DC=CE+ED=2{,}7+4{,}5=7{,}2\text{ дм}.$$

В прямоугольнике $$ABCD$$ имеем $$AB=DC=7{,}2\text{ дм}.$$

Так как $$AB\parallel CD$$, то $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, следовательно, $$\triangle ADE$$ равнобедренный и

$$AD=ED.$$

Из равенства углов при параллельных прямых получаем, что $$\angle AED=\angle EAD$$, значит

$$AD=ED=4{,}2\text{ дм}.$$

Тогда

$$P_{ABCD}=2(AB+AD)=2(7{,}2+4{,}2)=23{,}4\text{ дм}.$$

3) Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей параллелограмма. Проведём $$BE\perp AD$$, где $$E\in AD$$, и $$OH\perp AD$$, где $$H\in AD$$.

Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то $$BO=OD$$. Кроме того, прямая через середину диагонали, параллельная стороне, делит другую сторону пополам, значит $$EH=HD$$.

По условию $$HD=12\text{ см}$$, следовательно, $$EH=12\text{ см}.$$

Тогда

$$AE=AH-EH=33-12=21\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABE$$:

$$BE^2=AB^2-AE^2=29^2-21^2=(29-21)(29+21)=8\cdot 50=400,$$

откуда

$$BE=20\text{ см}.$$

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

$$S_{ABCD}=AD\cdot BE=(33+12)\cdot 20=900\text{ см}^2.$$