Упр.502 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником. Высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см, а периметр равен 42 см. Найдите площадь параллелограмма.

Подробный ответ

Обозначим стороны параллелограмма через $$AB$$ и $$AD$$. Тогда по свойству параллелограмма его периметр равен

$$P=2(AB+AD)=42,$$

откуда

$$AB+AD=21.$$

Площадь параллелограмма можно выразить через любую сторону и соответствующую ей высоту:

$$S=AD\cdot BH=AB\cdot BF,$$

где $$BH=4\text{ см}$$ и $$BF=5\text{ см}$$.

Тогда

$$4\cdot AD=5\cdot AB.$$

Подставим $$AB=21-AD$$:

$$4AD=5(21-AD),$$

$$4AD=105-5AD,$$

$$9AD=105,$$

$$AD=\frac{105}{9}=\frac{35}{3}=11\frac{2}{3}\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь:

$$S=AD\cdot BH=\frac{35}{3}\cdot 4=\frac{140}{3}=46\frac{2}{3}\text{ см}^2.$$

Параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником, так как в параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $$180^\circ$$. Если один угол равен $$90^\circ$$, то и все остальные углы тоже равны $$90^\circ$$.