Упр.500 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте равнобедренную трапецию ABCD: а) по основанию AD, углу А и боковой стороне АВ; б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD. Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.

Подробный ответ

а) Построим прямую $$a$$ и отметим на ней точку $$A$$. Отложим от неё отрезок $$AD$$, равный данному основанию. Затем построим угол $$\angle DAB$$, равный данному углу $$A$$, и на его стороне отложим отрезок $$AB$$, равный данной боковой стороне.

Через точки $$B$$ и $$D$$ проведём прямые, параллельные основанию трапеции. На одной из них отложим отрезок, равный $$AB$$, получим точку $$C$$. Соединим точки $$C$$ и $$B$$. Тогда четырёхугольник $$ABCD$$ — искомая равнобедренная трапеция.

б) Построим отрезок $$BC$$, равный данному основанию. Из точек $$B$$ и $$C$$ проведём окружности радиуса $$AB$$. Затем проведём окружность с центром $$C$$ и радиусом $$BD$$. Точка пересечения этих окружностей обозначим через $$A$$. Аналогично получим точку $$D$$ как точку пересечения окружностей с центрами $$B$$ и $$C$$ соответствующих радиусов. Соединим точки $$A$$ и $$D$$. Получим равнобедренную трапецию $$ABCD$$.

Доказательство. Пусть $$AC=BC=a$$. Тогда площадь квадрата, построенного на стороне $$BC$$, равна $$a^2$$.

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник $$BCA$$: так как $$BC=CA$$ и $$\angle C=90^\circ$$, то $$\triangle BCA$$ — равнобедренный прямоугольный. Пусть $$CO$$ — высота, проведённая к гипотенузе $$AB$$. В таком треугольнике высота к гипотенузе является также медианой, значит $$AO=OB$$.

По теореме Пифагора:

$$ AB^2=AC^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2, $$
$$ AB=a\sqrt{2}. $$

Так как $$CO$$ — высота к гипотенузе, то в прямоугольном треугольнике $$AOC$$:

$$ AC^2=AO^2+OC^2. $$

Но $$AO=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$$, поэтому

$$ OC^2=AC^2-AO^2=a^2-\left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 =a^2-\dfrac{a^2}{2} =\dfrac{a^2}{2}. $$

Следовательно, площадь квадрата, построенного на высоте $$CO$$, равна

$$ S_{CO}=OC^2=\dfrac{a^2}{2}. $$

Тогда

$$ S_{BC}=a^2=2\cdot \dfrac{a^2}{2}=2S_{CO}. $$

Значит, площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.