Упр.497 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны три точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?
2. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен $$50\text{ см}$$, а разность смежных сторон равна $$1\text{ см}$$.

Обозначим стороны параллелограмма через $$a$$ и $$b$$, причём $$a>b$$. Тогда по условию

$$2(a+b)=50,$$

значит

$$a+b=25.$$

Разность смежных сторон равна $$1$$ см, поэтому

$$a-b=1.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} a+b=25,\\ a-b=1. \end{cases}$$

Складываем уравнения:

$$2a=26 \Rightarrow a=13,$$

тогда

$$b=25-13=12.$$

Пусть диагональ, являющаяся высотой, опущена на сторону $$a$$. Тогда она перпендикулярна этой стороне, и в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$a$$ и катетом $$b$$ получаем:

$$d^2=a^2-b^2.$$

Подставим значения:

$$d^2=13^2-12^2=169-144=25,$$

следовательно,

$$d=5\text{ см}.$$

Ответ: $$5$$ см.