Упр.492 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны. Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.

а) Построим из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры к основанию $$AD$$: $$BB_1 \perp AD$$ и $$CC_1 \perp AD$$. Тогда $$BB_1 = CC_1$$ как высоты трапеции.

Так как $$BC \parallel AD$$, то $$B_1C_1 \subset AD$$ и четырёхугольник $$BCC_1B_1$$ — прямоугольник. Поэтому $$\angle CBB_1 = \angle BCC_1 = 90^\circ$$.

Из условия $$\angle A = \angle D$$. Тогда

$$ \angle ABB_1 = \angle A — 90^\circ,\qquad \angle DCC_1 = \angle D — 90^\circ, $$

следовательно, $$\angle ABB_1 = \angle DCC_1$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABB_1$$ и $$\triangle DCC_1$$. У них

$$BB_1 = CC_1,\qquad \angle ABB_1 = \angle DCC_1.$$

Значит, $$\triangle ABB_1 \cong \triangle DCC_1$$, откуда $$AB = CD$$.

Следовательно, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная.

б) Пусть $$AC = BD$$. Опустим из точек $$B$$ и $$C$$ перпендикуляры на основание $$AD$$: $$BB_1 \perp AD$$, $$CC_1 \perp AD$$.

Тогда прямоугольные треугольники $$\triangle ACC_1$$ и $$\triangle DBB_1$$ имеют равные гипотенузы:

$$AC = BD,$$

и равные катеты:

$$CC_1 = BB_1.$$

Следовательно, $$\triangle ACC_1 \cong \triangle DBB_1$$ по гипотенузе и катету. Отсюда

$$AC_1 = B_1D.$$

Теперь

$$ AC_1 = AB_1 + B_1C_1,\qquad B_1D = C_1D + B_1C_1. $$

Так как $$AC_1 = B_1D$$, получаем $$AB_1 = C_1D$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABB_1$$ и $$\triangle DCC_1$$. У них

$$BB_1 = CC_1,\qquad AB_1 = C_1D.$$

Значит, $$\triangle ABB_1 \cong \triangle DCC_1$$ по двум катетам, поэтому $$AB = CD$$.

Следовательно, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная.

Найдём высоты треугольника со сторонами $$10$$ см, $$10$$ см и $$12$$ см.

Пусть стороны треугольника равны $$AB = BC = 10$$ см, $$AC = 12$$ см. Найдём его площадь по формуле Герона:

$$ p=\frac{10+10+12}{2}=16, $$
$$ S=\sqrt{p(p-10)(p-10)(p-12)}=\sqrt{16\cdot 6\cdot 6\cdot 4}=48\ \text{см}^2. $$

Теперь используем формулу площади через сторону и высоту.

К стороне $$BC$$:

$$ 48=\frac{1}{2}\cdot 10 \cdot AM, $$
$$ AM=\frac{2\cdot 48}{10}=9{,}6\ \text{см}. $$

К стороне $$AB$$:

$$ 48=\frac{1}{2}\cdot 10 \cdot LC, $$
$$ LC=\frac{2\cdot 48}{10}=9{,}6\ \text{см}. $$

К стороне $$AC$$:

$$ 48=\frac{1}{2}\cdot 12 \cdot BN, $$
$$ BN=\frac{2\cdot 48}{12}=8\ \text{см}. $$

Ответ

а) $$AB = CD$$, значит, трапеция равнобедренная; б) $$AB = CD$$, значит, трапеция равнобедренная; высоты треугольника: $$9{,}6$$ см, $$9{,}6$$ см и $$8$$ см.