Упр.489 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Дано:
ABCD-трапец;
EF-ср.линия;
Доказать:
EF=1/2 (AD+BC);
EF || AD; EF || BC;
Решение:
1) Выполним построение:
E принадлежит AB; AE=BE; F принадлежит CD;
EF || CD, H=EFnBD;
2) Рассмотрим треугольник ABD:
EH || AD, AE=BE;
BH=HD, EH=1/2 AD;
3) Рассмотрим треугольник BCD:
HF || BC, BH=HD;
CF=DF, HF=1/2 BC;
4) В данной трапеции ABCD:
EF=EH+HF=1/2 (AD+BC);
AD || BC, EF || AD, EF || BC;
Что и требовалось доказать. Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле S = a2корень3/4, где а — сторона треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна: а) 5 см; б) 1,2 см; в) 2корень2 дм.
1) Рассмотрим равносторонний треугольник $$ABC$$ со стороной $$a$$. Проведём высоту $$BH$$ к стороне $$AC$$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой, значит $$AH=\frac{a}{2}$$.
2) В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:
$$ AB^2=BH^2+AH^2 $$
Так как $$AB=a$$, $$AH=\frac{a}{2}$$, получаем:
$$ BH^2=a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4} $$
Следовательно,
$$ BH=\frac{a\sqrt{3}}{2} $$
3) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:
$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BH $$
Так как $$AC=a$$, то
$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$
Итак,
$$ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} $$
Теперь найдём площадь в каждом случае:
а) при $$a=5\text{ см}$$
$$ S=\frac{5^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}\text{ см}^2 $$
б) при $$a=1{,}2\text{ см}$$
$$ S=\frac{1{,}2^2\sqrt{3}}{4}=\frac{1{,}44\sqrt{3}}{4}=0{,}36\sqrt{3}\text{ см}^2 $$
в) при $$a=2\sqrt{2}\text{ дм}$$
$$ S=\frac{(2\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{8\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{3}\text{ дм}^2 $$
Ответ
$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$; а) $$\frac{25\sqrt{3}}{4}\text{ см}^2$$; б) $$0{,}36\sqrt{3}\text{ см}^2$$; в) $$2\sqrt{3}\text{ дм}^2$$.
