Упр.484 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажите свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
- В прямоугольном треугольнике $$a$$ и $$b$$ — катеты, $$c$$ — гипотенуза. Найдите $$b$$, если:
а) $$a=12$$, $$c=13$$;
б) $$a=7$$, $$c=9$$;
в) $$a=12$$, $$c=2b$$;
г) $$a=2\sqrt{3}$$, $$c=2b$$;
д) $$a=3b$$, $$c=2\sqrt{10}$$.
Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AC$$ и $$BC$$, то есть $$AM=MC$$ и $$BN=CN$$. Докажем, что $$MN\parallel AB$$ и $$MN=\frac12 AB$$.
Продолжим отрезок $$MN$$ за точку $$N$$ и отложим на его продолжении точку $$D$$ так, чтобы $$ND=MN$$.
Рассмотрим треугольники $$CMN$$ и $$DBN$$. В них:
- $$CN=NB$$ по условию;
- $$MN=ND$$ по построению;
- $$\angle CNM=\angle DNB$$ как вертикальные углы.
Следовательно, $$\triangle CMN=\triangle DBN$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда $$CM=DB$$ и $$\angle CMN=\angle BDN$$.
Так как точки $$C, M, A$$ лежат на одной прямой, то из равенства углов $$\angle CMN=\angle BDN$$ получаем, что прямые $$CM$$ и $$BD$$ параллельны.
Но $$CM$$ лежит на прямой $$AC$$, а $$AM$$ лежит на той же прямой, значит $$BD\parallel AM$$. Кроме того, $$BD=CM=AM$$. Следовательно, четырёхугольник $$AMDB$$ — параллелограмм.
В параллелограмме $$AMDB$$ имеем $$MD\parallel AB$$ и $$MD=AB$$. Точка $$N$$ лежит на отрезке $$MD$$, а по построению $$MN=ND$$, значит $$N$$ — середина $$MD$$. Тогда
$$MN=\frac12 MD=\frac12 AB.$$
Так как $$MN$$ лежит на прямой $$MD$$, а $$MD\parallel AB$$, то $$MN\parallel AB$$.
Ответ: $$MN\parallel AB,$$ $$MN=\frac12 AB.$$
