Упр.482 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что четырёхугольник $$A_1B_1C_1D_1$$, вершинами которого являются середины отрезков $$OA$$, $$OB$$, $$OC$$ и $$OD$$, — параллелограмм.
- Тупой угол равнобедренной трапеции равен $$135^\circ$$, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки $$1{,}4\text{ см}$$ и $$3{,}4\text{ см}$$. Найдите площадь трапеции.
Рассмотрим равнобедренную трапецию $$ABCD$$, где $$\angle ABC=135^\circ$$. Опустим высоту $$BH$$ на большее основание $$AD$$.
Так как трапеция равнобедренная, то $$AB=CD$$ и $$\angle A=\angle D$$. Кроме того, высота из вершины $$B$$ делит трапецию на прямоугольный треугольник $$ABH$$ и прямоугольник с основанием $$BC$$.
Из условия $$AH=1{,}4$$ см, $$HD=3{,}4$$ см, значит
$$AD=AH+HD=1{,}4+3{,}4=4{,}8\text{ см}.$$
Рассмотрим треугольники $$BHA$$ и $$CED$$. Они равны по гипотенузе и прилежащему острому углу, поэтому соответствующие элементы равны, в частности
$$BC=HE.$$
Так как $$HD=HE+ED$$ и $$ED=AH=1{,}4$$ см, получаем
$$HE=HD-ED=3{,}4-1{,}4=2\text{ см}.$$
Следовательно,
$$BC=2\text{ см}.$$
Теперь найдём высоту $$BH$$. Угол при вершине $$B$$ равен $$135^\circ$$, а $$\angle HBC=90^\circ$$, значит
$$\angle ABH=135^\circ-90^\circ=45^\circ.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ острые углы равны $$45^\circ$$, значит он равнобедренный, и
$$BH=AH=1{,}4\text{ см}.$$
Площадь трапеции:
$$S=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BH =\frac{1}{2}(4{,}8+2)\cdot 1{,}4 =4{,}76\text{ см}^2.$$
Ответ: $$4{,}76\text{ см}^2$$.
