Упр.481 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На рисунке 163 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы O1А и О2В равны. Стержень АВ, длина которого равна расстоянию O1O2 между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки АВ и 0102 либо параллельны, либо лежат на одной прямой. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен 135°.

Подробный ответ

1) Так как $$O_1A=O_2B$$ и $$AB=O_1O_2$$, то в четырёхугольнике $$ABO_2O_1$$ две противоположные стороны равны попарно. Следовательно, $$ABO_2O_1$$ — параллелограмм.

2) В параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит $$AB \parallel O_1O_2$$. Если точки $$A, B, O_1, O_2$$ лежат на одной прямой, то отрезки $$AB$$ и $$O_1O_2$$ совпадают по направлению и лежат на одной прямой.

3) Найдём площадь прямоугольной трапеции. Пусть $$ABCD$$ — прямоугольная трапеция, $$BC \parallel AD$$, $$AB \perp BC$$, $$AB=BC=6$$ см, $$\angle C=135^\circ$$.

Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CH$$ на основание $$AD$$. Тогда $$CH$$ — высота трапеции, а $$\angle BCH=90^\circ$$.

Так как $$BC \parallel AD$$, то внутренние односторонние углы при секущей $$CD$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle BCD+\angle CDA=180^\circ.$$

Но $$\angle BCD=135^\circ$$, значит

$$\angle HCD=135^\circ-90^\circ=45^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$CHD$$ угол $$\angle D=90^\circ-45^\circ=45^\circ$$, следовательно, $$\triangle CHD$$ равнобедренный, и

$$CH=HD=6\text{ см}.$$

Тогда

$$AD=AH+HD=BC+HD=6+6=12\text{ см}.$$

Площадь трапеции:

$$ S=\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot CH =\frac{1}{2}(6+12)\cdot 6 =54\text{ см}^2. $$