Упр.480 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На сторонах $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ четырёхугольника $$ABCD$$ отмечены соответственно точки $$M$$, $$N$$, $$P$$ и $$Q$$ так, что $$AM=CP$$, $$BN=DQ$$, $$BM=DP$$, $$NC=QA$$. Докажите, что $$ABCD$$ и $$MNPQ$$ — параллелограммы.
- Найдите площадь трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AB$$ и $$CD$$, если:
а) $$AB=21\text{ см}$$, $$CD=17\text{ см}$$, высота $$BH$$ равна $$7\text{ см}$$;
б) угол $$D=30^\circ$$, $$AB=2\text{ см}$$, $$CD=10\text{ см}$$, $$DA=8\text{ см}$$;
в) $$BC$$ перпендикулярен $$AB$$, $$AB=5\text{ см}$$, $$BC=8\text{ см}$$, $$CD=13\text{ см}$$.
Обозначим через $$S_{ABCD}$$ площадь трапеции $$ABCD$$.
а)
Высота трапеции равна $$BH=7$$ см, поэтому
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot BH =\frac{1}{2}(21+17)\cdot 7 =\frac{1}{2}\cdot 38\cdot 7 =133\text{ см}^2.$$
б)
Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AE$$ на основание $$CD$$. Тогда $$AE$$ — высота трапеции.
В прямоугольном треугольнике $$AED$$ угол $$D=30^\circ$$, гипотенуза $$AD=8$$ см, значит
$$AE=AD\cdot \sin 30^\circ=8\cdot \frac{1}{2}=4\text{ см}.$$
Тогда
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot AE =\frac{1}{2}(2+10)\cdot 4 =\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 4 =24\text{ см}^2.$$
в)
Так как $$BC\perp AB$$, то $$BC$$ — высота трапеции. Следовательно,
$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot BC =\frac{1}{2}(5+13)\cdot 8 =\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 8 =72\text{ см}^2.$$
Ответ: а) $$133\text{ см}^2$$; б) $$24\text{ см}^2$$; в) $$72\text{ см}^2$$.
