Упр.479 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВ Ф ВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK — параллелограмм. Точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС треугольника ABC. Найдите: a) SADE, если АВ = 5 см, АС = 6 см, AD = 3cм, АЕ = 2 см, SABC=10cм2; б) AD, если АВ = 8см, АС = 3см, АЕ = 2 см, SABC = 10 см2, SADE = 2 см2.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$\triangle ABK$$ и $$\triangle CMD$$.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$BC \parallel AD$$ и $$AB \parallel CD$$. Прямая $$AC$$ — секущая, значит

$$\angle BAC=\angle ACD.$$

Кроме того, в параллелограмме $$AB=CD$$.

По условию $$BK \perp AC$$ и $$DM \perp AC$$, следовательно, $$\angle AKB=\angle CMD=90^\circ.$$

Тогда прямоугольные треугольники $$\triangle ABK$$ и $$\triangle CMD$$ равны по гипотенузе и острому углу:

$$AB=CD,\qquad \angle BAK=\angle DCM.$$

Из равенства треугольников получаем:

$$BK=DM.$$

Также из равенства соответствующих углов имеем

$$\angle BKA=\angle MDC.$$

Но $$\angle BKA$$ и $$\angle MDC$$ — прямые, значит $$BK \parallel DM$$. Аналогично, из равенства треугольников следует $$BM \parallel KD$$.

Следовательно, противоположные стороны четырёхугольника $$BMDK$$ попарно параллельны, значит $$BMDK$$ — параллелограмм.

2) Пусть $$D \in AB$$, $$E \in AC$$. Тогда треугольники $$\triangle ADE$$ и $$\triangle ABC$$ имеют общий угол $$\angle A$$, поэтому их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\frac{AB\cdot AC}{AD\cdot AE}.$$

а) Подставим данные:

$$\frac{10}{S_{ADE}}=\frac{5\cdot 6}{3\cdot 2}=\frac{30}{6}=5.$$

Тогда

$$S_{ADE}=\frac{10}{5}=2\ \text{см}^2.$$

б) Аналогично:

$$\frac{10}{2}=\frac{8\cdot 3}{AD\cdot 2}.$$

Получаем

$$5=\frac{24}{2AD}=\frac{12}{AD},$$

откуда

$$AD=\frac{12}{5}=2{,}4\ \text{см}.$$