Упр.478 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником. Решение Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 157) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую АВ. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой АВ, так как АВ || CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от прямой АВ. Но тогда и отрезки ВС и AD лежат по ту же сторону от прямой АВ. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой АВ. В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.

Подробный ответ

Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Тогда четырёхугольник разбивается на четыре треугольника:

$$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}.$$

Так как у треугольников $$AOB$$ и $$AOD$$ общая высота, опущенная из точки $$A$$ на прямую $$BD$$, то

$$S_{AOB}=\frac{1}{2}\,BD\cdot h_A,\qquad S_{AOD}=\frac{1}{2}\,BD\cdot h_A.$$

Аналогично для треугольников $$BOC$$ и $$COD$$:

$$S_{BOC}=\frac{1}{2}\,AC\cdot h_B,\qquad S_{COD}=\frac{1}{2}\,AC\cdot h_B.$$

Но в выпуклом четырёхугольнике точки $$A$$ и $$C$$ лежат по разные стороны от прямой $$BD$$, а точки $$B$$ и $$D$$ — по разные стороны от прямой $$AC$$. Поэтому суммы соответствующих высот равны диагоналям:

$$h_A+h_C=AC,\qquad h_B+h_D=BD.$$

Удобнее записать площадь через треугольники с общей диагональю $$BD$$:

$$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}.$$

Тогда

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot h_A,\qquad S_{BCD}=\frac{1}{2}BD\cdot h_C,$$

где $$h_A+h_C=AC$$. Следовательно,

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD\,(h_A+h_C)=\frac{1}{2}BD\cdot AC.$$

Значит, площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD.$$