Упр.471 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: a) угол BAC = угол ACD и угол BCA = угол DАС; б) АВ || CD, угол A = угол C. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 см и 11 см; б) 1,2 дм и 3 дм.
а) Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$.
По условию $$\angle BAC=\angle ACD$$ и $$\angle BCA=\angle DAC$$, а сторона $$AC$$ — общая.
Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle ADC$$ по второму признаку равенства треугольников.
Отсюда $$BC=AD$$ и $$\angle BCA=\angle CAD$$.
Так как углы $$\angle BCA$$ и $$\angle CAD$$ — накрест лежащие при секущей $$AC$$, то $$BC \parallel AD$$.
Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.
б) Если $$AB \parallel CD$$, то при секущей $$AD$$ имеем
$$\angle A+\angle D=180^\circ.$$
При секущей $$BC$$ получаем
$$\angle B+\angle C=180^\circ.$$
По условию $$\angle A=\angle C$$. Тогда
$$\angle B=180^\circ-\angle C=180^\circ-\angle A,$$
$$\angle D=180^\circ-\angle A.$$
Следовательно, $$\angle B=\angle D$$. Тогда
$$\angle B+\angle A=180^\circ,$$
значит, $$BC \parallel AD$$.
Итак, обе пары противоположных сторон параллельны: $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$. Следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.
Площадь прямоугольного треугольника равна
$$S=\frac{1}{2}ab,$$
где $$a$$ и $$b$$ — катеты.
а)
$$S=\frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 11=22\ \text{см}^2.$$
б)
$$S=\frac{1}{2}\cdot 1{,}2 \cdot 3=1{,}8\ \text{дм}^2.$$
Ответ
$$ABCD$$ — параллелограмм; $$22\ \text{см}^2$$; $$1{,}8\ \text{дм}^2$$.
