Упр.471 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что выпуклый четырёхугольник $$ABCD$$ является параллелограммом, если:
   а) $$\angle BAC=\angle ACD$$ и $$\angle BCA=\angle DAC$$;
   б) $$AB\parallel CD$$, $$\angle A=\angle C$$.
2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны:
   а) $$4\text{ см}$$ и $$11\text{ см}$$;
   б) $$1{,}2\text{ дм}$$ и $$3\text{ дм}$$.

а) Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$.

По условию $$\angle BAC=\angle ACD$$ и $$\angle BCA=\angle DAC$$, а сторона $$AC$$ — общая.

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle ACD$$ по второму признаку равенства треугольников.

Отсюда $$BC=AD$$ и $$\angle BCA=\angle CAD$$.

Углы $$\angle BCA$$ и $$\angle CAD$$ — накрест лежащие при секущей $$AC$$, значит, $$BC \parallel AD$$.

Итак, в четырёхугольнике $$ABCD$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.

б) Так как $$AB \parallel CD$$, то при секущей $$AD$$ внутренние односторонние углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle D=180^\circ.$$

А при секущей $$BC$$ имеем:

$$\angle B+\angle C=180^\circ.$$

По условию $$\angle A=\angle C$$. Тогда

$$\angle B=180^\circ-\angle C=180^\circ-\angle A,$$

$$\angle D=180^\circ-\angle A.$$

Значит, $$\angle B=\angle D$$. Тогда

$$\angle B+\angle A=180^\circ,$$

следовательно, $$BC \parallel AD$$.

Итак, $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ

а) $$ABCD$$ — параллелограмм; б) $$ABCD$$ — параллелограмм.