Упр.466 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм. Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если большая его сторона равна 15,2 см, а один из его углов 45°.

Подробный ответ

Пусть стороны четырёхугольника равны $$x$$, $$x-0{,}3$$, $$x-0{,}4$$ и $$x-0{,}5$$ см, где $$x$$ — большая сторона. Тогда по условию периметр равен $$8$$ см, значит

$$ x+(x-0{,}3)+(x-0{,}4)+(x-0{,}5)=8 $$
$$ 4x-1{,}2=8 $$
$$ 4x=9{,}2 $$
$$ x=2{,}3 $$

Тогда остальные стороны:

$$ x-0{,}3=2{,}0\text{ см},\quad x-0{,}4=1{,}9\text{ см},\quad x-0{,}5=1{,}8\text{ см} $$

Следовательно, стороны четырёхугольника равны $$2{,}3$$ см, $$2{,}0$$ см, $$1{,}9$$ см и $$1{,}8$$ см.

Теперь найдём площадь параллелограмма. По условию его диагональ равна стороне, значит $$AD=BD$$. Тогда $$\triangle ADB$$ равнобедренный, поэтому

$$ \angle DAB=\angle ABD=45^\circ $$

Следовательно,

$$ \angle ADB=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ $$

Проведём высоту $$DH$$ к стороне $$AB$$. В равнобедренном треугольнике она является также медианой, значит

$$ DH=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 15{,}2=7{,}6\text{ см} $$

Тогда площадь параллелограмма:

$$ S_{ABCD}=AB\cdot DH=15{,}2\cdot 7{,}6=115{,}52\text{ см}^2 $$