Упр.465 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°? Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь параллелограмма.

Подробный ответ

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна $$\left(n-2\right)\cdot 180^\circ.$$

Если все углы равны $$d^\circ,$$ то

$$nd=\left(n-2\right)\cdot 180^\circ.$$

Отсюда

$$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-d}.$$

Теперь найдём число сторон для каждого случая:

а) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-90^\circ}=\frac{360^\circ}{90^\circ}=4;$$

б) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-60^\circ}=\frac{360^\circ}{120^\circ}=3;$$

в) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-120^\circ}=\frac{360^\circ}{60^\circ}=6;$$

г) $$n=\frac{360^\circ}{180^\circ-108^\circ}=\frac{360^\circ}{72^\circ}=5.$$

Во второй задаче острый угол параллелограмма равен $$30^\circ,$$ значит тупой угол равен $$150^\circ.$$ Высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны $$2\text{ см}$$ и $$3\text{ см}.$$

Пусть стороны параллелограмма равны $$a$$ и $$b.$$ Тогда высота к стороне $$a$$ равна $$b\sin 30^\circ,$$ а высота к стороне $$b$$ равна $$a\sin 30^\circ.$$

Так как $$\sin 30^\circ=\frac12,$$ получаем:

$$b\cdot \frac12=2,\qquad a\cdot \frac12=3.$$

Отсюда

$$b=4\text{ см},\qquad a=6\text{ см}.$$

Площадь параллелограмма:

$$S=ab\sin 30^\circ=6\cdot 4\cdot \frac12=12\text{ см}^2.$$