Упр.460 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1) Пусть дан треугольник ABC с прямым углом B;
2) Построим биссектрису угла угол ACB треугольника;
3) Отметим точку O на ее пересечении с прямой AB;
4) Из точки O проведем окружность с радиусом OB. Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть дан прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle B=90^\circ$$. Требуется построить окружность, центр которой лежит на одном из катетов, проходит через вершину прямого угла $$B$$ и касается гипотенузы $$AC$$.

Проведём биссектрису угла $$\angle ACB$$. Обозначим через $$O$$ точку её пересечения с прямой $$AB$$.

Так как точка $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$ACB$$, то её расстояния до сторон этого угла равны. Значит, расстояние от $$O$$ до прямой $$BC$$ равно расстоянию от $$O$$ до прямой $$AC$$.

Но точка $$O$$ лежит на прямой $$AB$$, а $$AB \perp BC$$, следовательно, расстояние от $$O$$ до прямой $$BC$$ равно $$OB$$. Тогда расстояние от $$O$$ до прямой $$AC$$ тоже равно $$OB$$.

Построим окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OB$$. Она проходит через точку $$B$$. Кроме того, так как расстояние от центра $$O$$ до прямой $$AC$$ равно радиусу, окружность касается гипотенузы $$AC$$.

Искомая окружность построена.