Упр.459 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Даны острый угол и его внутренняя точка $$A$$. Постройте на сторонах угла такие точки $$B$$ и $$C$$, чтобы периметр треугольника $$ABC$$ был наименьшим.
Пусть $$a$$ — основание, $$h$$ — высота, $$S$$ — площадь параллелограмма. Найдите:
а) $$S$$, если $$a=15\text{ см}$$, $$h=12\text{ см}$$;
б) $$a$$, если $$S=34\text{ см}^2$$, $$h=8{,}5\text{ см}$$;
в) $$a$$, если $$S=162\text{ см}^2$$, $$h=\frac{1}{2}a$$;
г) $$h$$, если $$h=3a$$, $$S=27$$.

Подробный ответ

Пусть точки $$M$$ и $$N$$ симметричны точке $$A$$ относительно сторон данного угла.

Проведём прямую $$MN$$. Точки пересечения этой прямой со сторонами угла обозначим $$B$$ и $$C$$.

Тогда для любой другой пары точек $$B_1$$ и $$C_1$$ на сторонах угла выполняется неравенство

$$AB_1+BC_1+CA_1 \ge MN,$$

а равенство достигается именно в случае, когда точки $$B$$ и $$C$$ лежат на прямой $$MN$$. Значит, построенный треугольник $$ABC$$ имеет наименьший периметр.

Ответ: нужно отразить точку $$A$$ относительно сторон угла, соединить полученные точки $$M$$ и $$N$$ и взять $$B$$ и $$C$$ как точки пересечения прямой $$MN$$ со сторонами угла.