Упр.454 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

1) Отметим точку M на середине отрезка O_1 O_2;
2) Из точки M проведем окружность с радиусом O_1 M;
3) Из точки O_1 проведем окружность с радиусом (R-r);
4) Отметим точку E на пересечении новых окружностей;
5) Из точки E проведем окружность меньшего радиуса;
6) Отметим A на пересечении с первой окружностью;
7) Построим прямую AB параллельно прямой EO_2.
Ответ: четыре. Найдите стороны прямоугольника, если: а) его площадь равна 250 см2, а одна сторона в 2,5 раза больше другой; б) его площадь равна 9 м2, а периметр равен 12 м.

Подробный ответ

1) Общая касательная к двум не имеющим общих точек окружностям.

Пусть радиусы окружностей равны $$R$$ и $$r$$, а их центры — $$O_1$$ и $$O_2$$. Построим середину отрезка $$O_1O_2$$ — точку $$M$$. Затем проведём окружность с центром в $$M$$ и радиусом $$O_1M$$, а из точки $$O_1$$ — окружность радиуса $$R-r$$. Точка их пересечения обозначим $$E$$.

Через точку $$E$$ строим окружность меньшего радиуса. Пусть $$A$$ — точка её пересечения с первой окружностью. Тогда прямая $$AB$$, проведённая параллельно прямой $$EO_2$$, является общей касательной к данным окружностям.

Для двух окружностей, не имеющих общих точек, можно построить четыре общие касательные: две внешние и две внутренние.

2) Найдём стороны прямоугольника.

а) Пусть меньшая сторона равна $$x$$ см, тогда большая сторона равна $$2{,}5x$$ см. По условию площадь равна $$250\text{ см}^2$$, значит

$$ x\cdot 2{,}5x=250 $$
$$ 2{,}5x^2=250 $$
$$ x^2=100 $$
$$ x=10 $$

Тогда вторая сторона:

$$ 2{,}5\cdot 10=25 $$

Значит, стороны прямоугольника: $$10\text{ см}$$ и $$25\text{ см}$$.

б) Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$ метров. Тогда

$$ ab=9 $$
$$ 2a+2b=12 $$
$$ a+b=6 $$

Подставим $$a=6-b$$ в уравнение площади:

$$ (6-b)b=9 $$
$$ 6b-b^2=9 $$
$$ b^2-6b+9=0 $$
$$ (b-3)^2=0 $$
$$ b=3 $$

Тогда