Упр.444 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дана окружность с центром $$О$$ и точка $$А$$ вне её. Проведите через точку $$А$$ прямую, пересекающую окружность в точках $$В$$ и $$С$$ таких, что $$АВ=ВС$$.
2. Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры.

Пусть прямые $$l_1$$ и $$l_2$$ — оси симметрии фигуры, причём $$l_1 \perp l_2$$, а их точка пересечения — $$O$$.

Докажем, что $$O$$ является центром симметрии фигуры.

Возьмём любую точку $$A$$ фигуры. Отразим её сначала относительно оси $$l_1$$, а затем относительно оси $$l_2$$. Так как каждая из этих прямых является осью симметрии фигуры, то полученные при отражениях точки тоже принадлежат фигуре.

Из свойства двух взаимно перпендикулярных осей симметрии следует, что композиция отражений относительно этих осей равносильна повороту на $$180^\circ$$ вокруг точки их пересечения $$O$$. Значит, точка $$A$$ переходит в точку $$A’$$ так, что $$O$$ — середина отрезка $$AA’$$.

Следовательно, для каждой точки фигуры существует симметричная ей относительно точки $$O$$ точка фигуры. Значит, $$O$$ — центр симметрии данной фигуры.

Ответ: точка пересечения двух взаимно перпендикулярных осей симметрии является центром симметрии фигуры.