Упр.439 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.
Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

Подробный ответ

Обозначим трапецию $$ABCD$$ так, что $$AD \parallel BC$$, а точки $$E$$ и $$F$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Тогда отрезок $$EF$$ соединяет середины боковых сторон трапеции, а $$M$$ — середина основания $$AD$$.

Проведём через точку $$N$$ прямые $$NE \parallel AB$$ и $$NF \parallel CD$$. Тогда четырёхугольники $$ABNE$$ и $$NCDF$$ — параллелограммы, откуда

$$BN=AE,\qquad NC=FD.$$

Так как $$AM=MD$$, то

$$AD=AM+MD=2AM.$$

Из равенства $$BN=NC$$ получаем

$$AE=FD.$$

Тогда

$$EF=AD-(AE+FD)=AD-2AE.$$

Но поскольку $$BN=AE$$ и $$NC=FD$$, то

$$EF=AD-(BN+NC)=AD-BC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ENF$$. Из условия $$\angle A+\angle D=90^\circ$$ и свойств параллельных прямых имеем

$$\angle NEM=\angle A,\qquad \angle NFM=\angle D,$$

значит

$$\angle NEM+\angle NFM=90^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$ENF$$ прямоугольный, а $$NM$$ — его медиана к гипотенузе $$EF$$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, поэтому

$$NM=\frac12 EF.$$

Подставляя найденное значение $$EF$$, получаем

$$NM=\frac12(AD-BC).$$