Упр.439 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$BC \parallel AD$$, $$\angle A + \angle D = 90^\circ$$, $$BN = NC$$, $$AM = MD$$. Требуется доказать, что $$MN = \frac{1}{2}(AD — BC)$$.

Проведём через точку $$N$$ прямые $$NE \parallel AB$$ и $$NF \parallel CD$$, где точки $$E$$ и $$F$$ лежат на основании $$AD$$.

Тогда $$ABNE$$ и $$NCDF$$ — параллелограммы, значит

$$BN = AE,\qquad NC = FD.$$

Из условия $$BN = NC$$ получаем

$$AE = FD.$$

Так как $$AM = MD$$, то точка $$M$$ — середина отрезка $$AD$$. Кроме того, из равенства $$AE = FD$$ следует, что

$$EM = MF,$$

то есть точка $$M$$ — середина отрезка $$EF$$.

Рассмотрим углы при точке $$N$$. Поскольку $$NE \parallel AB$$ и $$NF \parallel CD$$, имеем

$$\angle NEM = \angle A,\qquad \angle NFM = \angle D.$$

По условию $$\angle A + \angle D = 90^\circ$$, значит

$$\angle NEM + \angle NFM = 90^\circ.$$

Следовательно, четырёхугольник $$ENFM$$ таков, что треугольник $$ENF$$ прямоугольный, а отрезок $$NM$$ является медианой к гипотенузе $$EF$$. Тогда

$$NM = \frac{1}{2}EF.$$

Теперь найдём $$EF$$:

$$EF = AD — AE — FD = AD — (AE + FD).$$

Так как $$AE = BN$$ и $$FD = NC$$, то

$$EF = AD — (BN + NC) = AD — BC.$$

Значит,

$$MN = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2}(AD — BC).$$

Ответ

$$MN = \frac{1}{2}(AD — BC).$$