Упр.436 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Через вершину А треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В проведён перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника ВСН больше периметра треугольника ABC. Диагональ АС квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой АС, пересекает прямые ВС и CD соответственно в точках М и N. Найдите MN.

Подробный ответ

1) В квадрате $$ABCD$$ диагональ $$AC$$ является биссектрисой угла $$\angle BCD$$, поэтому

$$\angle BCA=\angle ACD=45^\circ.$$

2) Прямая, проходящая через точку $$A$$ и перпендикулярная к $$AC$$, образует с каждой из прямых $$BC$$ и $$CD$$ угол $$45^\circ$$. Значит, треугольники $$AMC$$ и $$ANC$$ равнобедренные.

В треугольнике $$AMC$$ имеем $$\angle CAM=90^\circ-45^\circ=45^\circ$$, следовательно, $$AM=AC$$.

Аналогично в треугольнике $$ANC$$ получаем $$\angle CAN=90^\circ-45^\circ=45^\circ$$, значит, $$AN=AC$$.

3) Тогда

$$AM=AN=AC=18{,}4\text{ см}.$$

Следовательно,

$$MN=MA+AN=18{,}4+18{,}4=36{,}8\text{ см}.$$