Упр.434 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведённая из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол.
- Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
Пусть в треугольнике $$ABC$$ выполнено $$BC>AB$$, а $$BM$$ — медиана, то есть $$AM=MC$$. Докажем, что $$\angle ABM>\angle MBC$$.
Продолжим медиану $$BM$$ за точку $$M$$ и отложим на продолжении отрезок $$ME=BM$$.
Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$ECM$$. В них:
- $$BM=ME$$ по построению;
- $$AM=MC$$, так как $$BM$$ — медиана;
- $$\angle AMB=\angle EMC$$ как вертикальные.
Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle ECM$$ по двум сторонам и углу между ними. Значит,
$$AB=CE$$.
Так как по условию $$BC>AB$$, то из равенства $$AB=CE$$ получаем
$$BC>CE$$.
Теперь рассмотрим треугольник $$BCE$$. В нём сторона $$BC$$ лежит против угла $$\angle BEC$$, а сторона $$CE$$ — против угла $$\angle MBC$$, потому что точки $$B, M, E$$ лежат на одной прямой. Большей стороне противолежит больший угол, значит
$$\angle BEC>\angle MBC$$.
Но $$\angle BEC=\angle ABM$$, так как треугольники $$ABM$$ и $$ECM$$ равны, следовательно соответствующие углы равны. Поэтому
$$\angle ABM>\angle MBC$$.
Ответ: $$\angle ABM>\angle MBC$$.
