Упр.434 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведённая из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Подробный ответ

1) Пусть в треугольнике $$ABC$$ дано $$BC>AB$$, а $$BM$$ — медиана. Докажем, что $$\angle ABM>\angle MBC$$.

Продолжим медиану $$BM$$ за точку $$M$$ и отложим на продолжении отрезок $$ME$$ так, что $$ME=BM$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$CEM$$. Имеем:

$$BM=ME,$$

$$AM=MC$$, так как $$BM$$ — медиана,

$$\angle AMB=\angle CME$$, как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle ABM \cong \triangle CEM$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$AB=CE,$$

а так как по условию $$BC>AB$$, то

$$BC>CE.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BCE$$. В нём сторона $$BC$$ лежит против угла $$\angle BEC$$, а сторона $$CE$$ — против угла $$\angle MBC$$, поэтому из неравенства сторон следует

$$\angle BEC>\angle MBC.$$

Но $$\angle BEC=\angle ABM$$, так как лучи $$BE$$ и $$BM$$ лежат на одной прямой, а лучи $$EC$$ и $$BA$$ соответствуют равным треугольникам. Значит,

$$\angle ABM>\angle MBC.$$

2) Докажем, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Пусть $$ABCD$$ — ромб, $$AC\cap BD=O$$. Обозначим основания перпендикуляров из точки $$O$$ на стороны ромба через $$N, M, E, F$$ соответственно.

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то $$BD$$ — биссектриса углов $$B$$ и $$D$$, а $$AC$$ — биссектриса углов $$A$$ и $$C$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle BON$$ и $$\triangle BOM$$. Они прямоугольные, $$BO$$ — общая сторона, а $$\angle NBO=\angle OBM$$, поскольку $$BD$$ — биссектриса угла $$B$$. Следовательно, $$\triangle BON \cong \triangle BOM$$ по гипотенузе и острому углу. Значит,

$$ON=OM.$$

Аналогично из равенства треугольников $$\triangle DOF$$ и $$\triangle DOE$$ получаем

$$OF=OE.$$

Кроме того, из равенства треугольников $$\triangle AON$$ и $$\triangle COE$$ следует

$$ON=OE.$$

Тогда

$$ON=OM=OE=OF.$$

Значит, точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех его сторон.