Упр.431 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Внутри треугольника $$ABC$$ взята такая точка $$D$$, что $$AD=AB$$. Докажите, что $$AC>AB$$.
- Точка $$K$$ — середина медианы $$AM$$ треугольника $$ABC$$. Прямая $$BK$$ пересекает сторону $$AC$$ в точке $$D$$. Докажите, что $$AD=\frac{1}{3}AC$$.
Пусть $$M$$ — середина стороны $$BC$$, а $$K$$ — середина медианы $$AM$$. Прямая $$BK$$ пересекает сторону $$AC$$ в точке $$D$$. Докажем, что $$AD=\frac13 AC$$.
Ход решения
Проведём через точку $$M$$ прямую, параллельную $$BD$$, и обозначим её пересечение с $$AC$$ точкой $$F$$.
Тогда в треугольнике $$CBD$$ прямая $$MF$$ проходит через середину $$BC$$ и параллельна $$BD$$, значит по теореме Фалеса
$$DF=FC.$$
Рассмотрим треугольник $$AMD$$. Точка $$K$$ — середина $$AM$$, а прямая $$BK$$ пересекает $$AC$$ в точке $$D$$. Следовательно, в соответствующих треугольниках получаем, что $$KD \parallel MF$$, а значит по теореме Фалеса
$$AD=DF.$$
Из равенств $$AD=DF$$ и $$DF=FC$$ следует, что
$$AD=DF=FC.$$
Тогда
$$AC=AD+DF+FC=3AD.$$
Отсюда
$$AD=\frac13 AC.$$
Ответ
$$AD=\frac13 AC$$
